Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26462 / 51109
↖ ↑ ↗
← S 70.445993°
W 34.639893°		 ← 204.45 m → S 70.445993°
W 34.634399°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 70.447832°
W 34.639893°		 ← 204.43 m →
41 797 m²		 S 70.447832°
W 34.634399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403785705566406 y=0.779869079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403785705566406 × 216)
    floor (0.403785705566406 × 65536)
    floor (26462.5)     		tx = 26462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779869079589844 × 216)
    floor (0.779869079589844 × 65536)
    floor (51109.5)     		ty = 51109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26462 / 51109 ti = "16/26462/51109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26462/51109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26462 ÷ 216
    26462 ÷ 65536     		x = 0.403778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51109 ÷ 216
    51109 ÷ 65536     		y = 0.779861450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.19244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60458018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779861450195312 × 2 - 1) × π
    -0.559722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7584213518629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60458018} λ = -0.60458018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7584213518629))-π/2
    2×atan(0.172316676618755)-π/2
    2×0.170640897050906-π/2
    0.341281794101812-1.57079632675     		φ = -1.22951453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60458018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.639893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22951453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.445993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26462 KachelY 51109 -0.60458018 -1.22951453 -34.639893 -70.445993
    Oben rechts KachelX + 1 26463 KachelY 51109 -0.60448430 -1.22951453 -34.634399 -70.445993
    Unten links KachelX 26462 KachelY + 1 51110 -0.60458018 -1.22954662 -34.639893 -70.447832
    Unten rechts KachelX + 1 26463 KachelY + 1 51110 -0.60448430 -1.22954662 -34.634399 -70.447832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22951453--1.22954662) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dl = 204.445389999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22951453--1.22954662) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dr = 204.445389999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60458018--0.60448430) × cos(-1.22951453) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334695237758443 × 6371000     		do = 204.4490813338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60458018--0.60448430) × cos(-1.22954662) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334664998331029 × 6371000     		du = 204.430609534809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22951453)-sin(-1.22954662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334695237758443-0.334664998331029)×R²
    abs(-0.60448430--0.60458018)×3.02394274140916e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.02394274140916e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.02394274140916e-05×40589641000000     		ar = 41796.783934632m²