Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26461 / 10857
↖ ↑ ↗
← N 51.774638°
E110.709229°		 ← 755.90 m → N 51.774638°
E110.720215°		 →
↑
755.98 m
↓
↑
755.98 m
↓
N 51.767840°
E110.709229°		 ← 756.01 m →
571 488 m²		 N 51.767840°
E110.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807540893554688 y=0.331344604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807540893554688 × 215)
    floor (0.807540893554688 × 32768)
    floor (26461.5)     		tx = 26461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331344604492188 × 215)
    floor (0.331344604492188 × 32768)
    floor (10857.5)     		ty = 10857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26461 / 10857 ti = "15/26461/10857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26461/10857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26461 ÷ 215
    26461 ÷ 32768     		x = 0.807525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10857 ÷ 215
    10857 ÷ 32768     		y = 0.331329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807525634765625 × 2 - 1) × π
    0.61505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93224055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331329345703125 × 2 - 1) × π
    0.33734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0597889768002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93224055} λ = 1.93224055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0597889768002))-π/2
    2×atan(2.88576196228767)-π/2
    2×1.2372171167025-π/2
    2.474434233405-1.57079632675     		φ = 0.90363791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93224055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.709229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90363791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.774638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26461 KachelY 10857 1.93224055 0.90363791 110.709229 51.774638
    Oben rechts KachelX + 1 26462 KachelY 10857 1.93243230 0.90363791 110.720215 51.774638
    Unten links KachelX 26461 KachelY + 1 10858 1.93224055 0.90351925 110.709229 51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 26462 KachelY + 1 10858 1.93243230 0.90351925 110.720215 51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90363791-0.90351925) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dl = 755.982860000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90363791-0.90351925) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dr = 755.982860000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93224055-1.93243230) × cos(0.90363791) × R
    0.000191750000000157 × 0.618756188448891 × 6371000     		do = 755.896845990182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93224055-1.93243230) × cos(0.90351925) × R
    0.000191750000000157 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 756.010718566798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90363791)-sin(0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618756188448891-0.618849401381119)×R²
    abs(1.93243230-1.93224055)×9.32129322275266e-05×R²
    0.000191750000000157×9.32129322275266e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.32129322275266e-05×40589641000000     		ar = 571488.103025476m²