Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26459 / 51130
↖ ↑ ↗
← S 70.484566°
W 34.656372°		 ← 204.04 m → S 70.484566°
W 34.650879°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
S 70.486401°
W 34.656372°		 ← 204.02 m →
41 635 m²		 S 70.486401°
W 34.650879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403739929199219 y=0.780189514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403739929199219 × 216)
    floor (0.403739929199219 × 65536)
    floor (26459.5)     		tx = 26459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780189514160156 × 216)
    floor (0.780189514160156 × 65536)
    floor (51130.5)     		ty = 51130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26459 / 51130 ti = "16/26459/51130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26459/51130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26459 ÷ 216
    26459 ÷ 65536     		x = 0.403732299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51130 ÷ 216
    51130 ÷ 65536     		y = 0.780181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.192535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60486780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.56036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76043470164694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60486780} λ = -0.60486780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76043470164694))-π/2
    2×atan(0.171970091890317)-π/2
    2×0.170304287201171-π/2
    0.340608574402342-1.57079632675     		φ = -1.23018775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60486780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.656372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23018775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.484566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26459 KachelY 51130 -0.60486780 -1.23018775 -34.656372 -70.484566
    Oben rechts KachelX + 1 26460 KachelY 51130 -0.60477193 -1.23018775 -34.650879 -70.484566
    Unten links KachelX 26459 KachelY + 1 51131 -0.60486780 -1.23021978 -34.656372 -70.486401
    Unten rechts KachelX + 1 26460 KachelY + 1 51131 -0.60477193 -1.23021978 -34.650879 -70.486401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23018775--1.23021978) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dl = 204.063130000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23018775--1.23021978) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dr = 204.063130000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60486780--0.60477193) × cos(-1.23018775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334060768962029 × 6371000     		do = 204.040232118799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60486780--0.60477193) × cos(-1.23021978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334030578864898 × 6371000     		du = 204.021792376695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23018775)-sin(-1.23021978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334060768962029-0.334030578864898)×R²
    abs(-0.60477193--0.60486780)×3.01900971315106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01900971315106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01900971315106e-05×40589641000000     		ar = 41635.2069801094m²