Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26457 / 51126
↖ ↑ ↗
← S 70.477225°
W 34.667359°		 ← 204.14 m → S 70.477225°
W 34.661865°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 70.479061°
W 34.667359°		 ← 204.12 m →
41 668 m²		 S 70.479061°
W 34.661865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403709411621094 y=0.780128479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403709411621094 × 216)
    floor (0.403709411621094 × 65536)
    floor (26457.5)     		tx = 26457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780128479003906 × 216)
    floor (0.780128479003906 × 65536)
    floor (51126.5)     		ty = 51126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26457 / 51126 ti = "16/26457/51126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26457/51126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26457 ÷ 216
    26457 ÷ 65536     		x = 0.403701782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51126 ÷ 216
    51126 ÷ 65536     		y = 0.780120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403701782226562 × 2 - 1) × π
    -0.192596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60505955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.56024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76005120644998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60505955} λ = -0.60505955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76005120644998))-π/2
    2×atan(0.172036054241892)-π/2
    2×0.170368354129004-π/2
    0.340736708258008-1.57079632675     		φ = -1.23005962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60505955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.667359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23005962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.477225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26457 KachelY 51126 -0.60505955 -1.23005962 -34.667359 -70.477225
    Oben rechts KachelX + 1 26458 KachelY 51126 -0.60496367 -1.23005962 -34.661865 -70.477225
    Unten links KachelX 26457 KachelY + 1 51127 -0.60505955 -1.23009166 -34.667359 -70.479061
    Unten rechts KachelX + 1 26458 KachelY + 1 51127 -0.60496367 -1.23009166 -34.661865 -70.479061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23005962--1.23009166) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23005962--1.23009166) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60505955--0.60496367) × cos(-1.23005962) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334181535348133 × 6371000     		do = 204.135285456182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60505955--0.60496367) × cos(-1.23009166) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.33415133719698 × 6371000     		du = 204.116838870857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23005962)-sin(-1.23009166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334181535348133-0.33415133719698)×R²
    abs(-0.60496367--0.60505955)×3.01981511532379e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.01981511532379e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.01981511532379e-05×40589641000000     		ar = 41667.6080344762m²