Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26457 / 10890
↖ ↑ ↗
← N 51.549751°
E110.665283°		 ← 759.66 m → N 51.549751°
E110.676270°		 →
↑
759.68 m
↓
↑
759.68 m
↓
N 51.542919°
E110.665283°		 ← 759.77 m →
577 139 m²		 N 51.542919°
E110.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807418823242188 y=0.332351684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807418823242188 × 215)
    floor (0.807418823242188 × 32768)
    floor (26457.5)     		tx = 26457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332351684570312 × 215)
    floor (0.332351684570312 × 32768)
    floor (10890.5)     		ty = 10890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26457 / 10890 ti = "15/26457/10890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26457/10890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26457 ÷ 215
    26457 ÷ 32768     		x = 0.807403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10890 ÷ 215
    10890 ÷ 32768     		y = 0.33233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807403564453125 × 2 - 1) × π
    0.61480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93147356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33233642578125 × 2 - 1) × π
    0.3353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05346130605035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93147356} λ = 1.93147356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05346130605035))-π/2
    2×atan(2.86755946117955)-π/2
    2×1.23525460530318-π/2
    2.47050921060637-1.57079632675     		φ = 0.89971288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93147356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89971288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.549751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26457 KachelY 10890 1.93147356 0.89971288 110.665283 51.549751
    Oben rechts KachelX + 1 26458 KachelY 10890 1.93166531 0.89971288 110.676270 51.549751
    Unten links KachelX 26457 KachelY + 1 10891 1.93147356 0.89959364 110.665283 51.542919
    Unten rechts KachelX + 1 26458 KachelY + 1 10891 1.93166531 0.89959364 110.676270 51.542919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89971288-0.89959364) × R
    0.000119240000000076 × 6371000     		dl = 759.678040000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89971288-0.89959364) × R
    0.000119240000000076 × 6371000     		dr = 759.678040000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93147356-1.93166531) × cos(0.89971288) × R
    0.000191750000000157 × 0.621834851467758 × 6371000     		do = 759.657861571556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93147356-1.93166531) × cos(0.89959364) × R
    0.000191750000000157 × 0.621928229662156 × 6371000     		du = 759.771936038926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89971288)-sin(0.89959364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621834851467758-0.621928229662156)×R²
    abs(1.93166531-1.93147356)×9.33781943976975e-05×R²
    0.000191750000000157×9.33781943976975e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.33781943976975e-05×40589641000000     		ar = 577138.725967836m²