Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26454 / 11082
↖ ↑ ↗
← N 50.219095°
E110.632324°		 ← 781.63 m → N 50.219095°
E110.643310°		 →
↑
781.72 m
↓
↑
781.72 m
↓
N 50.212065°
E110.632324°		 ← 781.74 m →
611 062 m²		 N 50.212065°
E110.643310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807327270507812 y=0.338211059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807327270507812 × 215)
    floor (0.807327270507812 × 32768)
    floor (26454.5)     		tx = 26454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338211059570312 × 215)
    floor (0.338211059570312 × 32768)
    floor (11082.5)     		ty = 11082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26454 / 11082 ti = "15/26454/11082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26454/11082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26454 ÷ 215
    26454 ÷ 32768     		x = 0.80731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11082 ÷ 215
    11082 ÷ 32768     		y = 0.33819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80731201171875 × 2 - 1) × π
    0.6146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93089832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33819580078125 × 2 - 1) × π
    0.3236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01664576714215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93089832} λ = 1.93089832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01664576714215))-π/2
    2×atan(2.76390840597598)-π/2
    2×1.22364243763684-π/2
    2.44728487527368-1.57079632675     		φ = 0.87648855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93089832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87648855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.219095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26454 KachelY 11082 1.93089832 0.87648855 110.632324 50.219095
    Oben rechts KachelX + 1 26455 KachelY 11082 1.93109006 0.87648855 110.643310 50.219095
    Unten links KachelX 26454 KachelY + 1 11083 1.93089832 0.87636585 110.632324 50.212065
    Unten rechts KachelX + 1 26455 KachelY + 1 11083 1.93109006 0.87636585 110.643310 50.212065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87648855-0.87636585) × R
    0.000122700000000031 × 6371000     		dl = 781.721700000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87648855-0.87636585) × R
    0.000122700000000031 × 6371000     		dr = 781.721700000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93089832-1.93109006) × cos(0.87648855) × R
    0.000191739999999996 × 0.639853621550772 × 6371000     		do = 781.629533266822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93089832-1.93109006) × cos(0.87636585) × R
    0.000191739999999996 × 0.639947911292213 × 6371000     		du = 781.74471530864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87648855)-sin(0.87636585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639853621550772-0.639947911292213)×R²
    abs(1.93109006-1.93089832)×9.42897414408783e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42897414408783e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42897414408783e-05×40589641000000     		ar = 611061.788432973m²