Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26453 / 51118
↖ ↑ ↗
← S 70.462534°
W 34.689331°		 ← 204.26 m → S 70.462534°
W 34.683838°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
S 70.464370°
W 34.689331°		 ← 204.24 m →
41 719 m²		 S 70.464370°
W 34.683838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403648376464844 y=0.780006408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403648376464844 × 216)
    floor (0.403648376464844 × 65536)
    floor (26453.5)     		tx = 26453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780006408691406 × 216)
    floor (0.780006408691406 × 65536)
    floor (51118.5)     		ty = 51118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26453 / 51118 ti = "16/26453/51118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26453/51118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26453 ÷ 216
    26453 ÷ 65536     		x = 0.403640747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51118 ÷ 216
    51118 ÷ 65536     		y = 0.779998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403640747070312 × 2 - 1) × π
    -0.192718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60544304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75928421605606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60544304} λ = -0.60544304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75928421605606))-π/2
    2×atan(0.172168054858035)-π/2
    2×0.170496557475053-π/2
    0.340993114950106-1.57079632675     		φ = -1.22980321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60544304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.689331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22980321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.462534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26453 KachelY 51118 -0.60544304 -1.22980321 -34.689331 -70.462534
    Oben rechts KachelX + 1 26454 KachelY 51118 -0.60534717 -1.22980321 -34.683838 -70.462534
    Unten links KachelX 26453 KachelY + 1 51119 -0.60544304 -1.22983527 -34.689331 -70.464370
    Unten rechts KachelX + 1 26454 KachelY + 1 51119 -0.60534717 -1.22983527 -34.683838 -70.464370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22980321--1.22983527) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dl = 204.254259999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22980321--1.22983527) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dr = 204.254259999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60544304--0.60534717) × cos(-1.22980321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334423193022742 × 6371000     		do = 204.261596302635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60544304--0.60534717) × cos(-1.22983527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33439297876921 × 6371000     		du = 204.243141806098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22980321)-sin(-1.22983527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334423193022742-0.33439297876921)×R²
    abs(-0.60534717--0.60544304)×3.02142535319461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02142535319461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02142535319461e-05×40589641000000     		ar = 41719.4164976027m²