Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26453 / 10969
↖ ↑ ↗
← N 51.006842°
E110.621338°		 ← 768.69 m → N 51.006842°
E110.632324°		 →
↑
768.72 m
↓
↑
768.72 m
↓
N 50.999929°
E110.621338°		 ← 768.80 m →
590 954 m²		 N 50.999929°
E110.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807296752929688 y=0.334762573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807296752929688 × 215)
    floor (0.807296752929688 × 32768)
    floor (26453.5)     		tx = 26453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334762573242188 × 215)
    floor (0.334762573242188 × 32768)
    floor (10969.5)     		ty = 10969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26453 / 10969 ti = "15/26453/10969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26453/10969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26453 ÷ 215
    26453 ÷ 32768     		x = 0.807281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10969 ÷ 215
    10969 ÷ 32768     		y = 0.334747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807281494140625 × 2 - 1) × π
    0.61456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93070657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334747314453125 × 2 - 1) × π
    0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93070657} λ = 1.93070657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03831324577042))-π/2
    2×atan(2.82444884308323)-π/2
    2×1.23051683273088-π/2
    2.46103366546176-1.57079632675     		φ = 0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93070657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26453 KachelY 10969 1.93070657 0.89023734 110.621338 51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 26454 KachelY 10969 1.93089832 0.89023734 110.632324 51.006842
    Unten links KachelX 26453 KachelY + 1 10970 1.93070657 0.89011668 110.621338 50.999929
    Unten rechts KachelX + 1 26454 KachelY + 1 10970 1.93089832 0.89011668 110.632324 50.999929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89023734-0.89011668) × R
    0.000120659999999995 × 6371000     		dl = 768.724859999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89023734-0.89011668) × R
    0.000120659999999995 × 6371000     		dr = 768.724859999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93070657-1.93089832) × cos(0.89023734) × R
    0.000191750000000157 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 768.689107248975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93070657-1.93089832) × cos(0.89011668) × R
    0.000191750000000157 × 0.629321353557924 × 6371000     		du = 768.803666370116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89023734)-sin(0.89011668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629321353557924)×R²
    abs(1.93089832-1.93070657)×9.37749185294656e-05×R²
    0.000191750000000157×9.37749185294656e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.37749185294656e-05×40589641000000     		ar = 590954.459292066m²