Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26451 / 51122
↖ ↑ ↗
← S 70.469881°
W 34.700317°		 ← 204.19 m → S 70.469881°
W 34.694824°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 70.471717°
W 34.700317°		 ← 204.17 m →
41 691 m²		 S 70.471717°
W 34.694824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403617858886719 y=0.780067443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403617858886719 × 216)
    floor (0.403617858886719 × 65536)
    floor (26451.5)     		tx = 26451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780067443847656 × 216)
    floor (0.780067443847656 × 65536)
    floor (51122.5)     		ty = 51122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26451 / 51122 ti = "16/26451/51122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26451/51122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26451 ÷ 216
    26451 ÷ 65536     		x = 0.403610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51122 ÷ 216
    51122 ÷ 65536     		y = 0.780059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.192779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60563479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.56011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75966771125302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60563479} λ = -0.60563479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75966771125302))-π/2
    2×atan(0.172102041894563)-π/2
    2×0.170432444217858-π/2
    0.340864888435717-1.57079632675     		φ = -1.22993144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60563479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.700317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22993144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.469881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26451 KachelY 51122 -0.60563479 -1.22993144 -34.700317 -70.469881
    Oben rechts KachelX + 1 26452 KachelY 51122 -0.60553892 -1.22993144 -34.694824 -70.469881
    Unten links KachelX 26451 KachelY + 1 51123 -0.60563479 -1.22996349 -34.700317 -70.471717
    Unten rechts KachelX + 1 26452 KachelY + 1 51123 -0.60553892 -1.22996349 -34.694824 -70.471717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22993144--1.22996349) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22993144--1.22996349) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60563479--0.60553892) × cos(-1.22993144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334302343371175 × 6371000     		do = 204.18778281345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60563479--0.60553892) × cos(-1.22996349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334272137167887 × 6371000     		du = 204.169333233904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22993144)-sin(-1.22996349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334302343371175-0.334272137167887)×R²
    abs(-0.60553892--0.60563479)×3.02062032871975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02062032871975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02062032871975e-05×40589641000000     		ar = 41691.3320646577m²