Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26446 / 11080
↖ ↑ ↗
← N 50.233152°
E110.544434°		 ← 781.40 m → N 50.233152°
E110.555420°		 →
↑
781.47 m
↓
↑
781.47 m
↓
N 50.226124°
E110.544434°		 ← 781.51 m →
610 683 m²		 N 50.226124°
E110.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807083129882812 y=0.338150024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807083129882812 × 215)
    floor (0.807083129882812 × 32768)
    floor (26446.5)     		tx = 26446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338150024414062 × 215)
    floor (0.338150024414062 × 32768)
    floor (11080.5)     		ty = 11080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26446 / 11080 ti = "15/26446/11080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26446/11080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26446 ÷ 215
    26446 ÷ 32768     		x = 0.80706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11080 ÷ 215
    11080 ÷ 32768     		y = 0.338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80706787109375 × 2 - 1) × π
    0.6141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92936434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92936434} λ = 1.92936434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01702926233911))-π/2
    2×atan(2.76496855484252)-π/2
    2×1.22376510995358-π/2
    2.44753021990717-1.57079632675     		φ = 0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92936434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26446 KachelY 11080 1.92936434 0.87673389 110.544434 50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 26447 KachelY 11080 1.92955608 0.87673389 110.555420 50.233152
    Unten links KachelX 26446 KachelY + 1 11081 1.92936434 0.87661123 110.544434 50.226124
    Unten rechts KachelX + 1 26447 KachelY + 1 11081 1.92955608 0.87661123 110.555420 50.226124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87673389-0.87661123) × R
    0.000122660000000052 × 6371000     		dl = 781.466860000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87673389-0.87661123) × R
    0.000122660000000052 × 6371000     		dr = 781.466860000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92936434-1.92955608) × cos(0.87673389) × R
    0.000191739999999996 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 781.399190220065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92936434-1.92955608) × cos(0.87661123) × R
    0.000191739999999996 × 0.639759337547655 × 6371000     		du = 781.514358234802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87673389)-sin(0.87661123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.639759337547655)×R²
    abs(1.92955608-1.92936434)×9.42782586638158e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42782586638158e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42782586638158e-05×40589641000000     		ar = 610682.572347592m²