Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26438 / 6469
↖ ↑ ↗
← N 80.812507°
W 34.771729°		 ← 97.52 m → N 80.812507°
W 34.766236°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 80.811630°
W 34.771729°		 ← 97.53 m →
9 513 m²		 N 80.811630°
W 34.766236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403419494628906 y=0.0987167358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403419494628906 × 216)
    floor (0.403419494628906 × 65536)
    floor (26438.5)     		tx = 26438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987167358398438 × 216)
    floor (0.0987167358398438 × 65536)
    floor (6469.5)     		ty = 6469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26438 / 6469 ti = "16/26438/6469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26438/6469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26438 ÷ 216
    26438 ÷ 65536     		x = 0.403411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6469 ÷ 216
    6469 ÷ 65536     		y = 0.0987091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.19317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60688115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987091064453125 × 2 - 1) × π
    0.802581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52138504621571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60688115} λ = -0.60688115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52138504621571))-π/2
    2×atan(12.4458227710767)-π/2
    2×1.49062032164584-π/2
    2.98124064329169-1.57079632675     		φ = 1.41044432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60688115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.771729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41044432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.812507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26438 KachelY 6469 -0.60688115 1.41044432 -34.771729 80.812507
    Oben rechts KachelX + 1 26439 KachelY 6469 -0.60678528 1.41044432 -34.766236 80.812507
    Unten links KachelX 26438 KachelY + 1 6470 -0.60688115 1.41042901 -34.771729 80.811630
    Unten rechts KachelX + 1 26439 KachelY + 1 6470 -0.60678528 1.41042901 -34.766236 80.811630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41044432-1.41042901) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41044432-1.41042901) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60688115--0.60678528) × cos(1.41044432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159665707448462 × 6371000     		do = 97.5218613979166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60688115--0.60678528) × cos(1.41042901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15968082101992 × 6371000     		du = 97.5310925825238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41044432)-sin(1.41042901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159665707448462-0.15968082101992)×R²
    abs(-0.60678528--0.60688115)×1.51135714574757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51135714574757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51135714574757e-05×40589641000000     		ar = 9512.73354122186m²