Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26433 / 13250
↖ ↑ ↗
← N 32.528289°
E110.401611°		 ← 1 029.94 m → N 32.528289°
E110.412597°		 →
↑
1 030.06 m
↓
↑
1 030.06 m
↓
N 32.519026°
E110.401611°		 ← 1 030.05 m →
1 060 960 m²		 N 32.519026°
E110.412597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806686401367188 y=0.404373168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806686401367188 × 215)
    floor (0.806686401367188 × 32768)
    floor (26433.5)     		tx = 26433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404373168945312 × 215)
    floor (0.404373168945312 × 32768)
    floor (13250.5)     		ty = 13250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26433 / 13250 ti = "15/26433/13250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26433/13250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26433 ÷ 215
    26433 ÷ 32768     		x = 0.806671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13250 ÷ 215
    13250 ÷ 32768     		y = 0.40435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806671142578125 × 2 - 1) × π
    0.61334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92687162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40435791015625 × 2 - 1) × π
    0.1912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.600936973637024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92687162} λ = 1.92687162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600936973637024))-π/2
    2×atan(1.82382687775677)-π/2
    2×1.06926103811904-π/2
    2.13852207623807-1.57079632675     		φ = 0.56772575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92687162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56772575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.528289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26433 KachelY 13250 1.92687162 0.56772575 110.401611 32.528289
    Oben rechts KachelX + 1 26434 KachelY 13250 1.92706336 0.56772575 110.412597 32.528289
    Unten links KachelX 26433 KachelY + 1 13251 1.92687162 0.56756407 110.401611 32.519026
    Unten rechts KachelX + 1 26434 KachelY + 1 13251 1.92706336 0.56756407 110.412597 32.519026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56772575-0.56756407) × R
    0.000161680000000053 × 6371000     		dl = 1030.06328000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56772575-0.56756407) × R
    0.000161680000000053 × 6371000     		dr = 1030.06328000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92687162-1.92706336) × cos(0.56772575) × R
    0.000191739999999996 × 0.84312605504649 × 6371000     		do = 1029.94216598146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92687162-1.92706336) × cos(0.56756407) × R
    0.000191739999999996 × 0.843212981942938 × 6371000     		du = 1030.04835375193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56772575)-sin(0.56756407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84312605504649-0.843212981942938)×R²
    abs(1.92706336-1.92687162)×8.69268964485137e-05×R²
    0.000191739999999996×8.69268964485137e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.69268964485137e-05×40589641000000     		ar = 1060960.29807459m²