Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26433 / 13249
↖ ↑ ↗
← N 32.537552°
E110.401611°		 ← 1 029.84 m → N 32.537552°
E110.412597°		 →
↑
1 029.94 m
↓
↑
1 029.94 m
↓
N 32.528289°
E110.401611°		 ← 1 029.94 m →
1 060 720 m²		 N 32.528289°
E110.412597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806686401367188 y=0.404342651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806686401367188 × 215)
    floor (0.806686401367188 × 32768)
    floor (26433.5)     		tx = 26433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404342651367188 × 215)
    floor (0.404342651367188 × 32768)
    floor (13249.5)     		ty = 13249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26433 / 13249 ti = "15/26433/13249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26433/13249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26433 ÷ 215
    26433 ÷ 32768     		x = 0.806671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13249 ÷ 215
    13249 ÷ 32768     		y = 0.404327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806671142578125 × 2 - 1) × π
    0.61334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92687162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404327392578125 × 2 - 1) × π
    0.19134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.601128721235504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92687162} λ = 1.92687162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601128721235504))-π/2
    2×atan(1.82417662571122)-π/2
    2×1.06934186764978-π/2
    2.13868373529956-1.57079632675     		φ = 0.56788741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92687162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56788741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.537552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26433 KachelY 13249 1.92687162 0.56788741 110.401611 32.537552
    Oben rechts KachelX + 1 26434 KachelY 13249 1.92706336 0.56788741 110.412597 32.537552
    Unten links KachelX 26433 KachelY + 1 13250 1.92687162 0.56772575 110.401611 32.528289
    Unten rechts KachelX + 1 26434 KachelY + 1 13250 1.92706336 0.56772575 110.412597 32.528289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56788741-0.56772575) × R
    0.000161659999999952 × 6371000     		dl = 1029.9358599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56788741-0.56772575) × R
    0.000161659999999952 × 6371000     		dr = 1029.9358599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92687162-1.92706336) × cos(0.56788741) × R
    0.000191739999999996 × 0.843039116867416 × 6371000     		do = 1029.83596442841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92687162-1.92706336) × cos(0.56772575) × R
    0.000191739999999996 × 0.84312605504649 × 6371000     		du = 1029.94216598146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56788741)-sin(0.56772575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843039116867416-0.84312605504649)×R²
    abs(1.92706336-1.92687162)×8.69381790743473e-05×R²
    0.000191739999999996×8.69381790743473e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.69381790743473e-05×40589641000000     		ar = 1060719.68238612m²