Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26429 / 11054
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
E110.357666°		 ← 778.41 m → N 50.415519°
E110.368652°		 →
↑
778.54 m
↓
↑
778.54 m
↓
N 50.408517°
E110.357666°		 ← 778.52 m →
606 062 m²		 N 50.408517°
E110.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806564331054688 y=0.337356567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806564331054688 × 215)
    floor (0.806564331054688 × 32768)
    floor (26429.5)     		tx = 26429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337356567382812 × 215)
    floor (0.337356567382812 × 32768)
    floor (11054.5)     		ty = 11054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26429 / 11054 ti = "15/26429/11054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26429/11054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26429 ÷ 215
    26429 ÷ 32768     		x = 0.806549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11054 ÷ 215
    11054 ÷ 32768     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806549072265625 × 2 - 1) × π
    0.61309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92610463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92610463} λ = 1.92610463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92610463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.357666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26429 KachelY 11054 1.92610463 0.87991680 110.357666 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 26430 KachelY 11054 1.92629637 0.87991680 110.368652 50.415519
    Unten links KachelX 26429 KachelY + 1 11055 1.92610463 0.87979460 110.357666 50.408517
    Unten rechts KachelX + 1 26430 KachelY + 1 11055 1.92629637 0.87979460 110.368652 50.408517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87979460) × R
    0.000122200000000072 × 6371000     		dl = 778.53620000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87979460) × R
    0.000122200000000072 × 6371000     		dr = 778.53620000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92610463-1.92629637) × cos(0.87991680) × R
    0.000191739999999996 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 778.406584453418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92610463-1.92629637) × cos(0.87979460) × R
    0.000191739999999996 × 0.637309440522757 × 6371000     		du = 778.521623953668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87979460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637309440522757)×R²
    abs(1.92629637-1.92610463)×9.41730547832087e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41730547832087e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41730547832087e-05×40589641000000     		ar = 606062.486277565m²