Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26427 / 6460
↖ ↑ ↗
← N 80.820397°
W 34.832153°		 ← 97.44 m → N 80.820397°
W 34.826660°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.819520°
W 34.832153°		 ← 97.45 m →
9 498 m²		 N 80.819520°
W 34.826660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403251647949219 y=0.0985794067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403251647949219 × 216)
    floor (0.403251647949219 × 65536)
    floor (26427.5)     		tx = 26427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985794067382812 × 216)
    floor (0.0985794067382812 × 65536)
    floor (6460.5)     		ty = 6460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26427 / 6460 ti = "16/26427/6460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26427/6460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26427 ÷ 216
    26427 ÷ 65536     		x = 0.403244018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6460 ÷ 216
    6460 ÷ 65536     		y = 0.09857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403244018554688 × 2 - 1) × π
    -0.193511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60793576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09857177734375 × 2 - 1) × π
    0.8028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52224791040887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60793576} λ = -0.60793576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52224791040887))-π/2
    2×atan(12.4565664604062)-π/2
    2×1.49068917722846-π/2
    2.98137835445693-1.57079632675     		φ = 1.41058203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60793576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.832153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41058203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.820397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26427 KachelY 6460 -0.60793576 1.41058203 -34.832153 80.820397
    Oben rechts KachelX + 1 26428 KachelY 6460 -0.60783989 1.41058203 -34.826660 80.820397
    Unten links KachelX 26427 KachelY + 1 6461 -0.60793576 1.41056673 -34.832153 80.819520
    Unten rechts KachelX + 1 26428 KachelY + 1 6461 -0.60783989 1.41056673 -34.826660 80.819520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41058203-1.41056673) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41058203-1.41056673) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60793576--0.60783989) × cos(1.41058203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159529762597094 × 6371000     		do = 97.4388279453065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60793576--0.60783989) × cos(1.41056673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159544866633147 × 6371000     		du = 97.4480533058053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41058203)-sin(1.41056673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159529762597094-0.159544866633147)×R²
    abs(-0.60783989--0.60793576)×1.51040360530097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51040360530097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51040360530097e-05×40589641000000     		ar = 9498.42605189739m²