Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26424 / 24231
↖ ↑ ↗
← S 64.956116°
E110.302734°		 ← 517.13 m → S 64.956116°
E110.313721°		 →
↑
517.13 m
↓
↑
517.13 m
↓
S 64.960766°
E110.302734°		 ← 517.05 m →
267 405 m²		 S 64.960766°
E110.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806411743164062 y=0.739486694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806411743164062 × 215)
    floor (0.806411743164062 × 32768)
    floor (26424.5)     		tx = 26424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739486694335938 × 215)
    floor (0.739486694335938 × 32768)
    floor (24231.5)     		ty = 24231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26424 / 24231 ti = "15/26424/24231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26424/24231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26424 ÷ 215
    26424 ÷ 32768     		x = 0.806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24231 ÷ 215
    24231 ÷ 32768     		y = 0.739471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806396484375 × 2 - 1) × π
    0.61279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92514589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.47894287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50464340527432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92514589} λ = 1.92514589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50464340527432))-π/2
    2×atan(0.222096478145454)-π/2
    2×0.218549115975217-π/2
    0.437098231950433-1.57079632675     		φ = -1.13369809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92514589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13369809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.956116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26424 KachelY 24231 1.92514589 -1.13369809 110.302734 -64.956116
    Oben rechts KachelX + 1 26425 KachelY 24231 1.92533764 -1.13369809 110.313721 -64.956116
    Unten links KachelX 26424 KachelY + 1 24232 1.92514589 -1.13377926 110.302734 -64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 26425 KachelY + 1 24232 1.92533764 -1.13377926 110.313721 -64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13369809--1.13377926) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dl = 517.134070000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13369809--1.13377926) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dr = 517.134070000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92514589-1.92533764) × cos(-1.13369809) × R
    0.000191749999999935 × 0.423312300411479 × 6371000     		do = 517.134921190278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92514589-1.92533764) × cos(-1.13377926) × R
    0.000191749999999935 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 517.045081715548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13369809)-sin(-1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423312300411479-0.423238760309742)×R²
    abs(1.92533764-1.92514589)×7.35401017367687e-05×R²
    0.000191749999999935×7.35401017367687e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.35401017367687e-05×40589641000000     		ar = 267404.857154699m²