Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26418 / 6448
↖ ↑ ↗
← N 80.830907°
W 34.881592°		 ← 97.34 m → N 80.830907°
W 34.876099°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 80.830031°
W 34.881592°		 ← 97.35 m →
9 476 m²		 N 80.830031°
W 34.876099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403114318847656 y=0.0983963012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403114318847656 × 216)
    floor (0.403114318847656 × 65536)
    floor (26418.5)     		tx = 26418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0983963012695312 × 216)
    floor (0.0983963012695312 × 65536)
    floor (6448.5)     		ty = 6448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26418 / 6448 ti = "16/26418/6448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26418/6448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26418 ÷ 216
    26418 ÷ 65536     		x = 0.403106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6448 ÷ 216
    6448 ÷ 65536     		y = 0.098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.19378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60879863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098388671875 × 2 - 1) × π
    0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60879863} λ = -0.60879863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52339839599976))-π/2
    2×atan(12.4709058076553)-π/2
    2×1.49078089348258-π/2
    2.98156178696515-1.57079632675     		φ = 1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60879863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26418 KachelY 6448 -0.60879863 1.41076546 -34.881592 80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 26419 KachelY 6448 -0.60870275 1.41076546 -34.876099 80.830907
    Unten links KachelX 26418 KachelY + 1 6449 -0.60879863 1.41075018 -34.881592 80.830031
    Unten rechts KachelX + 1 26419 KachelY + 1 6449 -0.60870275 1.41075018 -34.876099 80.830031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41076546-1.41075018) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41076546-1.41075018) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60879863--0.60870275) × cos(1.41076546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 97.338376452367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60879863--0.60870275) × cos(1.41075018) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.159363763819556 × 6371000     		du = 97.3475909875951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41076546)-sin(1.41075018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159363763819556)×R²
    abs(-0.60870275--0.60879863)×1.50847391383324e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.50847391383324e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.50847391383324e-05×40589641000000     		ar = 9476.23044091929m²