Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26418 / 13134
↖ ↑ ↗
← N 33.596319°
E110.236816°		 ← 1 017.57 m → N 33.596319°
E110.247803°		 →
↑
1 017.58 m
↓
↑
1 017.58 m
↓
N 33.587168°
E110.236816°		 ← 1 017.68 m →
1 035 513 m²		 N 33.587168°
E110.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806228637695312 y=0.400833129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806228637695312 × 215)
    floor (0.806228637695312 × 32768)
    floor (26418.5)     		tx = 26418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400833129882812 × 215)
    floor (0.400833129882812 × 32768)
    floor (13134.5)     		ty = 13134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26418 / 13134 ti = "15/26418/13134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26418/13134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26418 ÷ 215
    26418 ÷ 32768     		x = 0.80621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13134 ÷ 215
    13134 ÷ 32768     		y = 0.40081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80621337890625 × 2 - 1) × π
    0.6124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92399540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40081787109375 × 2 - 1) × π
    0.1983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.62317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92399540} λ = 1.92399540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62317969506073))-π/2
    2×atan(1.86484827343681)-π/2
    2×1.07858135460101-π/2
    2.15716270920203-1.57079632675     		φ = 0.58636638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92399540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.236816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58636638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.596319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26418 KachelY 13134 1.92399540 0.58636638 110.236816 33.596319
    Oben rechts KachelX + 1 26419 KachelY 13134 1.92418715 0.58636638 110.247803 33.596319
    Unten links KachelX 26418 KachelY + 1 13135 1.92399540 0.58620666 110.236816 33.587168
    Unten rechts KachelX + 1 26419 KachelY + 1 13135 1.92418715 0.58620666 110.247803 33.587168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58636638-0.58620666) × R
    0.000159719999999974 × 6371000     		dl = 1017.57611999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58636638-0.58620666) × R
    0.000159719999999974 × 6371000     		dr = 1017.57611999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92399540-1.92418715) × cos(0.58636638) × R
    0.000191750000000157 × 0.832956793662051 × 6371000     		do = 1017.57271269255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92399540-1.92418715) × cos(0.58620666) × R
    0.000191750000000157 × 0.833045162187906 × 6371000     		du = 1017.6806671522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58636638)-sin(0.58620666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832956793662051-0.833045162187906)×R²
    abs(1.92418715-1.92399540)×8.83685258545874e-05×R²
    0.000191750000000157×8.83685258545874e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.83685258545874e-05×40589641000000     		ar = 1035512.62094155m²