Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26412 / 11172
↖ ↑ ↗
← N 49.582226°
E110.170899°		 ← 792.06 m → N 49.582226°
E110.181885°		 →
↑
792.04 m
↓
↑
792.04 m
↓
N 49.575103°
E110.170899°		 ← 792.17 m →
627 389 m²		 N 49.575103°
E110.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806045532226562 y=0.340957641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806045532226562 × 215)
    floor (0.806045532226562 × 32768)
    floor (26412.5)     		tx = 26412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340957641601562 × 215)
    floor (0.340957641601562 × 32768)
    floor (11172.5)     		ty = 11172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26412 / 11172 ti = "15/26412/11172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26412/11172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26412 ÷ 215
    26412 ÷ 32768     		x = 0.8060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11172 ÷ 215
    11172 ÷ 32768     		y = 0.3409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8060302734375 × 2 - 1) × π
    0.612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92284492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92284492} λ = 1.92284492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999388483278931))-π/2
    2×atan(2.71662006181919)-π/2
    2×1.21808471086156-π/2
    2.43616942172311-1.57079632675     		φ = 0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92284492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.170899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26412 KachelY 11172 1.92284492 0.86537309 110.170899 49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 26413 KachelY 11172 1.92303667 0.86537309 110.181885 49.582226
    Unten links KachelX 26412 KachelY + 1 11173 1.92284492 0.86524877 110.170899 49.575103
    Unten rechts KachelX + 1 26413 KachelY + 1 11173 1.92303667 0.86524877 110.181885 49.575103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86537309-0.86524877) × R
    0.000124319999999956 × 6371000     		dl = 792.042719999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86537309-0.86524877) × R
    0.000124319999999956 × 6371000     		dr = 792.042719999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92284492-1.92303667) × cos(0.86537309) × R
    0.000191749999999935 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 792.057276249747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92284492-1.92303667) × cos(0.86524877) × R
    0.000191749999999935 × 0.648450757948763 × 6371000     		du = 792.17289760219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86537309)-sin(0.86524877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648450757948763)×R²
    abs(1.92303667-1.92284492)×9.46444316048956e-05×R²
    0.000191749999999935×9.46444316048956e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.46444316048956e-05×40589641000000     		ar = 627388.988809924m²