Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26409 / 51114
↖ ↑ ↗
← S 70.455184°
W 34.931030°		 ← 204.34 m → S 70.455184°
W 34.925537°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
S 70.457022°
W 34.931030°		 ← 204.32 m →
41 748 m²		 S 70.457022°
W 34.925537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402976989746094 y=0.779945373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402976989746094 × 216)
    floor (0.402976989746094 × 65536)
    floor (26409.5)     		tx = 26409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779945373535156 × 216)
    floor (0.779945373535156 × 65536)
    floor (51114.5)     		ty = 51114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26409 / 51114 ti = "16/26409/51114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26409/51114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26409 ÷ 216
    26409 ÷ 65536     		x = 0.402969360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51114 ÷ 216
    51114 ÷ 65536     		y = 0.779937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.194061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60966149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.55987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7589007208591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60966149} λ = -0.60966149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7589007208591))-π/2
    2×atan(0.172234093142016)-π/2
    2×0.170560693907908-π/2
    0.341121387815817-1.57079632675     		φ = -1.22967494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60966149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.931030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22967494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.455184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26409 KachelY 51114 -0.60966149 -1.22967494 -34.931030 -70.455184
    Oben rechts KachelX + 1 26410 KachelY 51114 -0.60956562 -1.22967494 -34.925537 -70.455184
    Unten links KachelX 26409 KachelY + 1 51115 -0.60966149 -1.22970701 -34.931030 -70.457022
    Unten rechts KachelX + 1 26410 KachelY + 1 51115 -0.60956562 -1.22970701 -34.925537 -70.457022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22967494--1.22970701) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22967494--1.22970701) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60966149--0.60956562) × cos(-1.22967494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334544074870615 × 6371000     		do = 204.335429456932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60966149--0.60956562) × cos(-1.22970701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334513852568622 × 6371000     		du = 204.316970044493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22967494)-sin(-1.22970701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334544074870615-0.334513852568622)×R²
    abs(-0.60956562--0.60966149)×3.02223019933434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02223019933434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02223019933434e-05×40589641000000     		ar = 41747.5143544065m²