Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26408 / 51113
↖ ↑ ↗
← S 70.453346°
W 34.936523°		 ← 204.35 m → S 70.453346°
W 34.931030°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 70.455184°
W 34.936523°		 ← 204.34 m →
41 764 m²		 S 70.455184°
W 34.931030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402961730957031 y=0.779930114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402961730957031 × 216)
    floor (0.402961730957031 × 65536)
    floor (26408.5)     		tx = 26408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779930114746094 × 216)
    floor (0.779930114746094 × 65536)
    floor (51113.5)     		ty = 51113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26408 / 51113 ti = "16/26408/51113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26408/51113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26408 ÷ 216
    26408 ÷ 65536     		x = 0.4029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51113 ÷ 216
    51113 ÷ 65536     		y = 0.779922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60975736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.559844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75880484705986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60975736} λ = -0.60975736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75880484705986))-π/2
    2×atan(0.172250606670479)-π/2
    2×0.170576731638177-π/2
    0.341153463276355-1.57079632675     		φ = -1.22964286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60975736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.936523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22964286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.453346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26408 KachelY 51113 -0.60975736 -1.22964286 -34.936523 -70.453346
    Oben rechts KachelX + 1 26409 KachelY 51113 -0.60966149 -1.22964286 -34.931030 -70.453346
    Unten links KachelX 26408 KachelY + 1 51114 -0.60975736 -1.22967494 -34.936523 -70.455184
    Unten rechts KachelX + 1 26409 KachelY + 1 51114 -0.60966149 -1.22967494 -34.931030 -70.455184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22964286--1.22967494) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22964286--1.22967494) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60975736--0.60966149) × cos(-1.22964286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334574306252229 × 6371000     		do = 204.353894415091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60975736--0.60966149) × cos(-1.22967494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334544074870615 × 6371000     		du = 204.335429456932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22964286)-sin(-1.22967494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334574306252229-0.334544074870615)×R²
    abs(-0.60966149--0.60975736)×3.02313816135102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02313816135102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02313816135102e-05×40589641000000     		ar = 41764.3053090212m²