Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26406 / 5662
↖ ↑ ↗
← N 81.493931°
W 34.947510°		 ← 90.34 m → N 81.493931°
W 34.942017°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
N 81.493118°
W 34.947510°		 ← 90.35 m →
8 168 m²		 N 81.493118°
W 34.942017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402931213378906 y=0.0864028930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402931213378906 × 216)
    floor (0.402931213378906 × 65536)
    floor (26406.5)     		tx = 26406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0864028930664062 × 216)
    floor (0.0864028930664062 × 65536)
    floor (5662.5)     		ty = 5662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26406 / 5662 ti = "16/26406/5662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26406/5662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26406 ÷ 216
    26406 ÷ 65536     		x = 0.402923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5662 ÷ 216
    5662 ÷ 65536     		y = 0.086395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.19415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60994911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086395263671875 × 2 - 1) × π
    0.82720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59875520220248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60994911} λ = -0.60994911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59875520220248))-π/2
    2×atan(13.4469888303987)-π/2
    2×1.49656687164381-π/2
    2.99313374328762-1.57079632675     		φ = 1.42233742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60994911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.947510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42233742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.493931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26406 KachelY 5662 -0.60994911 1.42233742 -34.947510 81.493931
    Oben rechts KachelX + 1 26407 KachelY 5662 -0.60985324 1.42233742 -34.942017 81.493931
    Unten links KachelX 26406 KachelY + 1 5663 -0.60994911 1.42232323 -34.947510 81.493118
    Unten rechts KachelX + 1 26407 KachelY + 1 5663 -0.60985324 1.42232323 -34.942017 81.493118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42233742-1.42232323) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dl = 90.4044900008667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42233742-1.42232323) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dr = 90.4044900008667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60994911--0.60985324) × cos(1.42233742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147914167231771 × 6371000     		do = 90.3441643548986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60994911--0.60985324) × cos(1.42232323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147928201129742 × 6371000     		du = 90.3527360881449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42233742)-sin(1.42232323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147914167231771-0.147928201129742)×R²
    abs(-0.60985324--0.60994911)×1.40338979713051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40338979713051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40338979713051e-05×40589641000000     		ar = 8167.90556501205m²