Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26404 / 5836
↖ ↑ ↗
← N 81.351380°
W 34.958496°		 ← 91.86 m → N 81.351380°
W 34.953003°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
N 81.350554°
W 34.958496°		 ← 91.87 m →
8 439 m²		 N 81.350554°
W 34.953003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402900695800781 y=0.0890579223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402900695800781 × 216)
    floor (0.402900695800781 × 65536)
    floor (26404.5)     		tx = 26404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890579223632812 × 216)
    floor (0.0890579223632812 × 65536)
    floor (5836.5)     		ty = 5836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26404 / 5836 ti = "16/26404/5836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26404/5836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26404 ÷ 216
    26404 ÷ 65536     		x = 0.40289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5836 ÷ 216
    5836 ÷ 65536     		y = 0.08905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61014086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08905029296875 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5820731611347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61014086} λ = -0.61014086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5820731611347))-π/2
    2×atan(13.2245263338199)-π/2
    2×1.49532288400303-π/2
    2.99064576800606-1.57079632675     		φ = 1.41984944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61014086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.351380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26404 KachelY 5836 -0.61014086 1.41984944 -34.958496 81.351380
    Oben rechts KachelX + 1 26405 KachelY 5836 -0.61004498 1.41984944 -34.953003 81.351380
    Unten links KachelX 26404 KachelY + 1 5837 -0.61014086 1.41983502 -34.958496 81.350554
    Unten rechts KachelX + 1 26405 KachelY + 1 5837 -0.61004498 1.41983502 -34.953003 81.350554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41984944-1.41983502) × R
    1.44199999998484e-05 × 6371000     		dl = 91.8698199990344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41984944-1.41983502) × R
    1.44199999998484e-05 × 6371000     		dr = 91.8698199990344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61014086--0.61004498) × cos(1.41984944) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150374319617859 × 6371000     		do = 91.8563756926086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61014086--0.61004498) × cos(1.41983502) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150388575634333 × 6371000     		du = 91.8650840013701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41984944)-sin(1.41983502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150374319617859-0.150388575634333)×R²
    abs(-0.61004498--0.61014086)×1.42560164731464e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42560164731464e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42560164731464e-05×40589641000000     		ar = 8439.22871600847m²