Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26404 / 24244
↖ ↑ ↗
← S 65.016506°
E110.083008°		 ← 515.94 m → S 65.016506°
E110.093994°		 →
↑
515.92 m
↓
↑
515.92 m
↓
S 65.021146°
E110.083008°		 ← 515.85 m →
266 163 m²		 S 65.021146°
E110.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805801391601562 y=0.739883422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805801391601562 × 215)
    floor (0.805801391601562 × 32768)
    floor (26404.5)     		tx = 26404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739883422851562 × 215)
    floor (0.739883422851562 × 32768)
    floor (24244.5)     		ty = 24244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26404 / 24244 ti = "15/26404/24244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26404/24244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26404 ÷ 215
    26404 ÷ 32768     		x = 0.8057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24244 ÷ 215
    24244 ÷ 32768     		y = 0.7398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8057861328125 × 2 - 1) × π
    0.611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92131094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92131094} λ = 1.92131094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50713612405457))-π/2
    2×atan(0.221543543524923)-π/2
    2×0.218022112124818-π/2
    0.436044224249635-1.57079632675     		φ = -1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92131094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26404 KachelY 24244 1.92131094 -1.13475210 110.083008 -65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 26405 KachelY 24244 1.92150268 -1.13475210 110.093994 -65.016506
    Unten links KachelX 26404 KachelY + 1 24245 1.92131094 -1.13483308 110.083008 -65.021146
    Unten rechts KachelX + 1 26405 KachelY + 1 24245 1.92150268 -1.13483308 110.093994 -65.021146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13475210--1.13483308) × R
    8.09799999998972e-05 × 6371000     		dl = 515.923579999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13475210--1.13483308) × R
    8.09799999998972e-05 × 6371000     		dr = 515.923579999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92131094-1.92150268) × cos(-1.13475210) × R
    0.000191739999999996 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 515.941162896664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92131094-1.92150268) × cos(-1.13483308) × R
    0.000191739999999996 × 0.422283745391573 × 6371000     		du = 515.851494309922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13475210)-sin(-1.13483308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422283745391573)×R²
    abs(1.92150268-1.92131094)×7.34040456814578e-05×R²
    0.000191739999999996×7.34040456814578e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.34040456814578e-05×40589641000000     		ar = 266163.080906277m²