Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26403 / 6566
↖ ↑ ↗
← N 80.727039°
W 34.963989°		 ← 98.42 m → N 80.727039°
W 34.958496°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 80.726154°
W 34.963989°		 ← 98.43 m →
9 688 m²		 N 80.726154°
W 34.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402885437011719 y=0.100196838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402885437011719 × 216)
    floor (0.402885437011719 × 65536)
    floor (26403.5)     		tx = 26403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100196838378906 × 216)
    floor (0.100196838378906 × 65536)
    floor (6566.5)     		ty = 6566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26403 / 6566 ti = "16/26403/6566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26403/6566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26403 ÷ 216
    26403 ÷ 65536     		x = 0.402877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6566 ÷ 216
    6566 ÷ 65536     		y = 0.100189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.194244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61023673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100189208984375 × 2 - 1) × π
    0.79962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51208528768942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61023673} λ = -0.61023673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51208528768942))-π/2
    2×atan(12.330616151822)-π/2
    2×1.48987447728609-π/2
    2.97974895457217-1.57079632675     		φ = 1.40895263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61023673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.963989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40895263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.727039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26403 KachelY 6566 -0.61023673 1.40895263 -34.963989 80.727039
    Oben rechts KachelX + 1 26404 KachelY 6566 -0.61014086 1.40895263 -34.958496 80.727039
    Unten links KachelX 26403 KachelY + 1 6567 -0.61023673 1.40893718 -34.963989 80.726154
    Unten rechts KachelX + 1 26404 KachelY + 1 6567 -0.61014086 1.40893718 -34.958496 80.726154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40895263-1.40893718) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40895263-1.40893718) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61023673--0.61014086) × cos(1.40895263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16113808258269 × 6371000     		do = 98.4211701227547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61023673--0.61014086) × cos(1.40893718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161153330660867 × 6371000     		du = 98.4304834624213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40895263)-sin(1.40893718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16113808258269-0.161153330660867)×R²
    abs(-0.61014086--0.61023673)×1.52480781770437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52480781770437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52480781770437e-05×40589641000000     		ar = 9688.24606212235m²