Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26403 / 51104
↖ ↑ ↗
← S 70.436799°
W 34.963989°		 ← 204.52 m → S 70.436799°
W 34.958496°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 70.438638°
W 34.963989°		 ← 204.50 m →
41 837 m²		 S 70.438638°
W 34.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402885437011719 y=0.779792785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402885437011719 × 216)
    floor (0.402885437011719 × 65536)
    floor (26403.5)     		tx = 26403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779792785644531 × 216)
    floor (0.779792785644531 × 65536)
    floor (51104.5)     		ty = 51104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26403 / 51104 ti = "16/26403/51104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26403/51104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26403 ÷ 216
    26403 ÷ 65536     		x = 0.402877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51104 ÷ 216
    51104 ÷ 65536     		y = 0.77978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.194244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61023673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61023673} λ = -0.61023673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7579419828667))-π/2
    2×atan(0.172399299692942)-π/2
    2×0.170721136431617-π/2
    0.341442272863235-1.57079632675     		φ = -1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61023673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.963989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26403 KachelY 51104 -0.61023673 -1.22935405 -34.963989 -70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 26404 KachelY 51104 -0.61014086 -1.22935405 -34.958496 -70.436799
    Unten links KachelX 26403 KachelY + 1 51105 -0.61023673 -1.22938616 -34.963989 -70.438638
    Unten rechts KachelX + 1 26404 KachelY + 1 51105 -0.61014086 -1.22938616 -34.958496 -70.438638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22935405--1.22938616) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22935405--1.22938616) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61023673--0.61014086) × cos(-1.22935405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 204.520121370058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61023673--0.61014086) × cos(-1.22938616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334816201444038 × 6371000     		du = 204.50164103987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22935405)-sin(-1.22938616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.334816201444038)×R²
    abs(-0.61014086--0.61023673)×3.02565491570594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02565491570594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02565491570594e-05×40589641000000     		ar = 41837.3656473219m²