Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26402 / 51042
↖ ↑ ↗
← S 70.322438°
W 34.969483°		 ← 205.69 m → S 70.322438°
W 34.963989°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 70.324288°
W 34.969483°		 ← 205.67 m →
42 313 m²		 S 70.324288°
W 34.963989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402870178222656 y=0.778846740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402870178222656 × 216)
    floor (0.402870178222656 × 65536)
    floor (26402.5)     		tx = 26402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778846740722656 × 216)
    floor (0.778846740722656 × 65536)
    floor (51042.5)     		ty = 51042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26402 / 51042 ti = "16/26402/51042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26402/51042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26402 ÷ 216
    26402 ÷ 65536     		x = 0.402862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51042 ÷ 216
    51042 ÷ 65536     		y = 0.778839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.19427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61033261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.55767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75199780731381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61033261} λ = -0.61033261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75199780731381))-π/2
    2×atan(0.173427123150689)-π/2
    2×0.17171912108969-π/2
    0.34343824217938-1.57079632675     		φ = -1.22735808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61033261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.969483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22735808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.322438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26402 KachelY 51042 -0.61033261 -1.22735808 -34.969483 -70.322438
    Oben rechts KachelX + 1 26403 KachelY 51042 -0.61023673 -1.22735808 -34.963989 -70.322438
    Unten links KachelX 26402 KachelY + 1 51043 -0.61033261 -1.22739037 -34.969483 -70.324288
    Unten rechts KachelX + 1 26403 KachelY + 1 51043 -0.61023673 -1.22739037 -34.963989 -70.324288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22735808--1.22739037) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22735808--1.22739037) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61033261--0.61023673) × cos(-1.22735808) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.33672653779778 × 6371000     		do = 205.689903969153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61033261--0.61023673) × cos(-1.22739037) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336696133278019 × 6371000     		du = 205.671331323259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22735808)-sin(-1.22739037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33672653779778-0.336696133278019)×R²
    abs(-0.61023673--0.61033261)×3.04045197609404e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04045197609404e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04045197609404e-05×40589641000000     		ar = 42312.5323370626m²