Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26401 / 6560
↖ ↑ ↗
← N 80.732349°
W 34.974976°		 ← 98.37 m → N 80.732349°
W 34.969483°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 80.731464°
W 34.974976°		 ← 98.37 m →
9 683 m²		 N 80.731464°
W 34.969483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402854919433594 y=0.100105285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402854919433594 × 216)
    floor (0.402854919433594 × 65536)
    floor (26401.5)     		tx = 26401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100105285644531 × 216)
    floor (0.100105285644531 × 65536)
    floor (6560.5)     		ty = 6560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26401 / 6560 ti = "16/26401/6560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26401/6560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26401 ÷ 216
    26401 ÷ 65536     		x = 0.402847290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6560 ÷ 216
    6560 ÷ 65536     		y = 0.10009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402847290039062 × 2 - 1) × π
    -0.194305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61042848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10009765625 × 2 - 1) × π
    0.7998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51266053048486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61042848} λ = -0.61042848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51266053048486))-π/2
    2×atan(12.3377112904447)-π/2
    2×1.48992081089356-π/2
    2.97984162178712-1.57079632675     		φ = 1.40904530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61042848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.974976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40904530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.732349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26401 KachelY 6560 -0.61042848 1.40904530 -34.974976 80.732349
    Oben rechts KachelX + 1 26402 KachelY 6560 -0.61033261 1.40904530 -34.969483 80.732349
    Unten links KachelX 26401 KachelY + 1 6561 -0.61042848 1.40902985 -34.974976 80.731464
    Unten rechts KachelX + 1 26402 KachelY + 1 6561 -0.61033261 1.40902985 -34.969483 80.731464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40904530-1.40902985) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40904530-1.40902985) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61042848--0.61033261) × cos(1.40904530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161046622914414 × 6371000     		do = 98.3653076759234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61042848--0.61033261) × cos(1.40902985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161061871223246 × 6371000     		du = 98.3746211564713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40904530)-sin(1.40902985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161046622914414-0.161061871223246)×R²
    abs(-0.61033261--0.61042848)×1.52483088321775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52483088321775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52483088321775e-05×40589641000000     		ar = 9682.74741894043m²