Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2640 / 1551
↖ ↑ ↗
← N 81.042039°
W121.992187°		 ← 380.43 m → N 81.042039°
W121.970215°		 →
↑
380.48 m
↓
↑
380.48 m
↓
N 81.038617°
W121.992187°		 ← 380.58 m →
144 773 m²		 N 81.038617°
W121.970215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161163330078125 y=0.094696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161163330078125 × 214)
    floor (0.161163330078125 × 16384)
    floor (2640.5)     		tx = 2640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094696044921875 × 214)
    floor (0.094696044921875 × 16384)
    floor (1551.5)     		ty = 1551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2640 / 1551 ti = "14/2640/1551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2640/1551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2640 ÷ 214
    2640 ÷ 16384     		x = 0.1611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1551 ÷ 214
    1551 ÷ 16384     		y = 0.09466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    -0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09466552734375 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54679160301434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12916533} λ = -2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54679160301434))-π/2
    2×atan(12.7660793560066)-π/2
    2×1.49262337031378-π/2
    2.98524674062756-1.57079632675     		φ = 1.41445041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41445041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.042039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2640 KachelY 1551 -2.12916533 1.41445041 -121.992187 81.042039
    Oben rechts KachelX + 1 2641 KachelY 1551 -2.12878184 1.41445041 -121.970215 81.042039
    Unten links KachelX 2640 KachelY + 1 1552 -2.12916533 1.41439069 -121.992187 81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 2641 KachelY + 1 1552 -2.12878184 1.41439069 -121.970215 81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41445041-1.41439069) × R
    5.97199999998743e-05 × 6371000     		dl = 380.476119999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41445041-1.41439069) × R
    5.97199999998743e-05 × 6371000     		dr = 380.476119999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12916533--2.12878184) × cos(1.41445041) × R
    0.000383490000000375 × 0.155709740373345 × 6371000     		do = 380.432340627588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12916533--2.12878184) × cos(1.41439069) × R
    0.000383490000000375 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 380.576469065459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41445041)-sin(1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155709740373345-0.155768731682034)×R²
    abs(-2.12878184--2.12916533)×5.89913086890825e-05×R²
    0.000383490000000375×5.89913086890825e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.89913086890825e-05×40589641000000     		ar = 144772.839641494m²