Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26396 / 51035
↖ ↑ ↗
← S 70.309486°
W 35.002441°		 ← 205.82 m → S 70.309486°
W 34.996948°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
S 70.311337°
W 35.002441°		 ← 205.80 m →
42 352 m²		 S 70.311337°
W 34.996948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402778625488281 y=0.778739929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402778625488281 × 216)
    floor (0.402778625488281 × 65536)
    floor (26396.5)     		tx = 26396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778739929199219 × 216)
    floor (0.778739929199219 × 65536)
    floor (51035.5)     		ty = 51035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26396 / 51035 ti = "16/26396/51035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26396/51035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26396 ÷ 216
    26396 ÷ 65536     		x = 0.40277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51035 ÷ 216
    51035 ÷ 65536     		y = 0.778732299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61090785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.557464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75132669071913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61090785} λ = -0.61090785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75132669071913))-π/2
    2×atan(0.173543552035311)-π/2
    2×0.171832148179526-π/2
    0.343664296359052-1.57079632675     		φ = -1.22713203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61090785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.002441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22713203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.309486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26396 KachelY 51035 -0.61090785 -1.22713203 -35.002441 -70.309486
    Oben rechts KachelX + 1 26397 KachelY 51035 -0.61081197 -1.22713203 -34.996948 -70.309486
    Unten links KachelX 26396 KachelY + 1 51036 -0.61090785 -1.22716433 -35.002441 -70.311337
    Unten rechts KachelX + 1 26397 KachelY + 1 51036 -0.61081197 -1.22716433 -34.996948 -70.311337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22713203--1.22716433) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22713203--1.22716433) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61090785--0.61081197) × cos(-1.22713203) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336939378434452 × 6371000     		do = 205.819917987069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61090785--0.61081197) × cos(-1.22716433) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336908966957804 × 6371000     		du = 205.801341091549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22713203)-sin(-1.22716433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336939378434452-0.336908966957804)×R²
    abs(-0.61081197--0.61090785)×3.04114766482844e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04114766482844e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04114766482844e-05×40589641000000     		ar = 42352.3905255767m²