Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26395 / 6553
↖ ↑ ↗
← N 80.738539°
W 35.007934°		 ← 98.30 m → N 80.738539°
W 35.002441°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
N 80.737655°
W 35.007934°		 ← 98.31 m →
9 664 m²		 N 80.737655°
W 35.002441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402763366699219 y=0.0999984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402763366699219 × 216)
    floor (0.402763366699219 × 65536)
    floor (26395.5)     		tx = 26395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999984741210938 × 216)
    floor (0.0999984741210938 × 65536)
    floor (6553.5)     		ty = 6553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26395 / 6553 ti = "16/26395/6553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26395/6553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26395 ÷ 216
    26395 ÷ 65536     		x = 0.402755737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6553 ÷ 216
    6553 ÷ 65536     		y = 0.0999908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402755737304688 × 2 - 1) × π
    -0.194488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61100372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999908447265625 × 2 - 1) × π
    0.800018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51333164707954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61100372} λ = -0.61100372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51333164707954))-π/2
    2×atan(12.3459941122908)-π/2
    2×1.4899748335326-π/2
    2.97994966706519-1.57079632675     		φ = 1.40915334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61100372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.007934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40915334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.738539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26395 KachelY 6553 -0.61100372 1.40915334 -35.007934 80.738539
    Oben rechts KachelX + 1 26396 KachelY 6553 -0.61090785 1.40915334 -35.002441 80.738539
    Unten links KachelX 26395 KachelY + 1 6554 -0.61100372 1.40913791 -35.007934 80.737655
    Unten rechts KachelX + 1 26396 KachelY + 1 6554 -0.61090785 1.40913791 -35.002441 80.737655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40915334-1.40913791) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dl = 98.3045299995378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40915334-1.40913791) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dr = 98.3045299995378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61100372--0.61090785) × cos(1.40915334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160939992242472 × 6371000     		do = 98.3001789655947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61100372--0.61090785) × cos(1.40913791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160955221080816 × 6371000     		du = 98.3094805538062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40915334)-sin(1.40913791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160939992242472-0.160955221080816)×R²
    abs(-0.61090785--0.61100372)×1.52288383435673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52288383435673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52288383435673e-05×40589641000000     		ar = 9663.81008642159m²