Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26391 / 5843
↖ ↑ ↗
← N 81.345596°
W 35.029907°		 ← 91.92 m → N 81.345596°
W 35.024414°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
N 81.344770°
W 35.029907°		 ← 91.93 m →
8 451 m²		 N 81.344770°
W 35.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402702331542969 y=0.0891647338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402702331542969 × 216)
    floor (0.402702331542969 × 65536)
    floor (26391.5)     		tx = 26391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891647338867188 × 216)
    floor (0.0891647338867188 × 65536)
    floor (5843.5)     		ty = 5843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26391 / 5843 ti = "16/26391/5843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26391/5843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26391 ÷ 216
    26391 ÷ 65536     		x = 0.402694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5843 ÷ 216
    5843 ÷ 65536     		y = 0.0891571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.194610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61138722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0891571044921875 × 2 - 1) × π
    0.821685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58140204454002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61138722} λ = -0.61138722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58140204454002))-π/2
    2×atan(13.215654112221)-π/2
    2×1.49527240790964-π/2
    2.99054481581928-1.57079632675     		φ = 1.41974849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61138722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.029907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41974849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.345596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26391 KachelY 5843 -0.61138722 1.41974849 -35.029907 81.345596
    Oben rechts KachelX + 1 26392 KachelY 5843 -0.61129134 1.41974849 -35.024414 81.345596
    Unten links KachelX 26391 KachelY + 1 5844 -0.61138722 1.41973406 -35.029907 81.344770
    Unten rechts KachelX + 1 26392 KachelY + 1 5844 -0.61129134 1.41973406 -35.024414 81.344770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41974849-1.41973406) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41974849-1.41973406) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61138722--0.61129134) × cos(1.41974849) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150474120962512 × 6371000     		do = 91.9173394916956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61138722--0.61129134) × cos(1.41973406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15048838664612 × 6371000     		du = 91.9260537056409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41974849)-sin(1.41973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150474120962512-0.15048838664612)×R²
    abs(-0.61129134--0.61138722)×1.42656836083221e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42656836083221e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42656836083221e-05×40589641000000     		ar = 8450.68605206737m²