Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26391 / 24289
↖ ↑ ↗
← S 65.224498°
E109.940186°		 ← 511.94 m → S 65.224498°
E109.951172°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
S 65.229102°
E109.940186°		 ← 511.86 m →
262 047 m²		 S 65.229102°
E109.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805404663085938 y=0.741256713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805404663085938 × 215)
    floor (0.805404663085938 × 32768)
    floor (26391.5)     		tx = 26391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741256713867188 × 215)
    floor (0.741256713867188 × 32768)
    floor (24289.5)     		ty = 24289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26391 / 24289 ti = "15/26391/24289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26391/24289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26391 ÷ 215
    26391 ÷ 32768     		x = 0.805389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24289 ÷ 215
    24289 ÷ 32768     		y = 0.741241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805389404296875 × 2 - 1) × π
    0.61077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91881822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.48248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51576476598618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91881822} λ = 1.91881822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51576476598618))-π/2
    2×atan(0.219640147287402)-π/2
    2×0.216207039167245-π/2
    0.432414078334489-1.57079632675     		φ = -1.13838225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91881822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.940186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13838225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.224498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26391 KachelY 24289 1.91881822 -1.13838225 109.940186 -65.224498
    Oben rechts KachelX + 1 26392 KachelY 24289 1.91900997 -1.13838225 109.951172 -65.224498
    Unten links KachelX 26391 KachelY + 1 24290 1.91881822 -1.13846260 109.940186 -65.229102
    Unten rechts KachelX + 1 26392 KachelY + 1 24290 1.91900997 -1.13846260 109.951172 -65.229102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13838225--1.13846260) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dl = 511.90984999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13838225--1.13846260) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dr = 511.90984999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91881822-1.91900997) × cos(-1.13838225) × R
    0.000191750000000157 × 0.419063898709218 × 6371000     		do = 511.944906921624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91881822-1.91900997) × cos(-1.13846260) × R
    0.000191750000000157 × 0.41899094303216 × 6371000     		du = 511.85578140302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13838225)-sin(-1.13846260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419063898709218-0.41899094303216)×R²
    abs(1.91900997-1.91881822)×7.29556770579509e-05×R²
    0.000191750000000157×7.29556770579509e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.29556770579509e-05×40589641000000     		ar = 262046.828535805m²