Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26390 / 51048
↖ ↑ ↗
← S 70.333533°
W 35.035400°		 ← 205.56 m → S 70.333533°
W 35.029907°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 70.335382°
W 35.035400°		 ← 205.54 m →
42 259 m²		 S 70.335382°
W 35.029907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402687072753906 y=0.778938293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402687072753906 × 216)
    floor (0.402687072753906 × 65536)
    floor (26390.5)     		tx = 26390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778938293457031 × 216)
    floor (0.778938293457031 × 65536)
    floor (51048.5)     		ty = 51048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26390 / 51048 ti = "16/26390/51048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26390/51048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26390 ÷ 216
    26390 ÷ 65536     		x = 0.402679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51048 ÷ 216
    51048 ÷ 65536     		y = 0.7789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.19464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61148309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61148309} λ = -0.61148309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75257305010925))-π/2
    2×atan(0.173327389135949)-π/2
    2×0.171622297558697-π/2
    0.343244595117394-1.57079632675     		φ = -1.22755173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61148309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.035400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22755173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.333533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26390 KachelY 51048 -0.61148309 -1.22755173 -35.035400 -70.333533
    Oben rechts KachelX + 1 26391 KachelY 51048 -0.61138722 -1.22755173 -35.029907 -70.333533
    Unten links KachelX 26390 KachelY + 1 51049 -0.61148309 -1.22758400 -35.035400 -70.335382
    Unten rechts KachelX + 1 26391 KachelY + 1 51049 -0.61138722 -1.22758400 -35.029907 -70.335382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22755173--1.22758400) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22755173--1.22758400) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61148309--0.61138722) × cos(-1.22755173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336544190164127 × 6371000     		do = 205.557075416799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61148309--0.61138722) × cos(-1.22758400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		du = 205.538514925661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22755173)-sin(-1.22758400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336544190164127-0.336513802373065)×R²
    abs(-0.61138722--0.61148309)×3.03877910620698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03877910620698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03877910620698e-05×40589641000000     		ar = 42259.0172518393m²