Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2639 / 631
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 51.943360°		 ← 2 195.17 m → N 77.019692°
E 52.031250°		 →
↑
2 196.85 m
↓
↑
2 196.85 m
↓
N 76.999935°
E 51.943360°		 ← 2 198.45 m →
4 826 064 m²		 N 76.999935°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6444091796875 y=0.1541748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6444091796875 × 212)
    floor (0.6444091796875 × 4096)
    floor (2639.5)     		tx = 2639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1541748046875 × 212)
    floor (0.1541748046875 × 4096)
    floor (631.5)     		ty = 631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2639 / 631 ti = "12/2639/631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2639/631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2639 ÷ 212
    2639 ÷ 4096     		x = 0.644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 631 ÷ 212
    631 ÷ 4096     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644287109375 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90658265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90658265} λ = 0.90658265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90658265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.943360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2639 KachelY 631 0.90658265 1.34424721 51.943360 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 2640 KachelY 631 0.90811663 1.34424721 52.031250 77.019692
    Unten links KachelX 2639 KachelY + 1 632 0.90658265 1.34390239 51.943360 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 2640 KachelY + 1 632 0.90811663 1.34390239 52.031250 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34390239) × R
    0.000344820000000023 × 6371000     		dl = 2196.84822000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34390239) × R
    0.000344820000000023 × 6371000     		dr = 2196.84822000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90658265-0.90811663) × cos(1.34424721) × R
    0.00153397999999993 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 2195.17075397464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90658265-0.90811663) × cos(1.34390239) × R
    0.00153397999999993 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 2198.45443411857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.224952159314094)×R²
    abs(0.90811663-0.90658265)×0.00033599556461586×R²
    0.00153397999999993×0.00033599556461586×6371000²
    0.00153397999999993×0.00033599556461586×40589641000000     		ar = 4826063.88472384m²