Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26389 / 5845
↖ ↑ ↗
← N 81.343943°
W 35.040894°		 ← 91.93 m → N 81.343943°
W 35.035400°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
N 81.343116°
W 35.040894°		 ← 91.94 m →
8 452 m²		 N 81.343116°
W 35.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402671813964844 y=0.0891952514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402671813964844 × 216)
    floor (0.402671813964844 × 65536)
    floor (26389.5)     		tx = 26389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891952514648438 × 216)
    floor (0.0891952514648438 × 65536)
    floor (5845.5)     		ty = 5845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26389 / 5845 ti = "16/26389/5845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26389/5845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26389 ÷ 216
    26389 ÷ 65536     		x = 0.402664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5845 ÷ 216
    5845 ÷ 65536     		y = 0.0891876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.194671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61157897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0891876220703125 × 2 - 1) × π
    0.821624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58121029694154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61157897} λ = -0.61157897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58121029694154))-π/2
    2×atan(13.2131202852181)-π/2
    2×1.49525798001642-π/2
    2.99051596003284-1.57079632675     		φ = 1.41971963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61157897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.040894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41971963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.343943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26389 KachelY 5845 -0.61157897 1.41971963 -35.040894 81.343943
    Oben rechts KachelX + 1 26390 KachelY 5845 -0.61148309 1.41971963 -35.035400 81.343943
    Unten links KachelX 26389 KachelY + 1 5846 -0.61157897 1.41970520 -35.040894 81.343116
    Unten rechts KachelX + 1 26390 KachelY + 1 5846 -0.61148309 1.41970520 -35.035400 81.343116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41971963-1.41970520) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41971963-1.41970520) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(1.41971963) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150502652298393 × 6371000     		do = 91.934767900445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(1.41970520) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150516917919328 × 6371000     		du = 91.943482076106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41971963)-sin(1.41970520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150502652298393-0.150516917919328)×R²
    abs(-0.61148309--0.61157897)×1.42656209345116e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42656209345116e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42656209345116e-05×40589641000000     		ar = 8452.28830522895m²