Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26389 / 51047
↖ ↑ ↗
← S 70.331684°
W 35.040894°		 ← 205.60 m → S 70.331684°
W 35.035400°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 70.333533°
W 35.040894°		 ← 205.58 m →
42 267 m²		 S 70.333533°
W 35.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402671813964844 y=0.778923034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402671813964844 × 216)
    floor (0.402671813964844 × 65536)
    floor (26389.5)     		tx = 26389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778923034667969 × 216)
    floor (0.778923034667969 × 65536)
    floor (51047.5)     		ty = 51047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26389 / 51047 ti = "16/26389/51047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26389/51047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26389 ÷ 216
    26389 ÷ 65536     		x = 0.402664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51047 ÷ 216
    51047 ÷ 65536     		y = 0.778915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.194671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61157897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.557830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75247717631001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61157897} λ = -0.61157897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75247717631001))-π/2
    2×atan(0.173344007487878)-π/2
    2×0.17163843117195-π/2
    0.343276862343901-1.57079632675     		φ = -1.22751946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61157897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.040894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22751946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.331684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26389 KachelY 51047 -0.61157897 -1.22751946 -35.040894 -70.331684
    Oben rechts KachelX + 1 26390 KachelY 51047 -0.61148309 -1.22751946 -35.035400 -70.331684
    Unten links KachelX 26389 KachelY + 1 51048 -0.61157897 -1.22755173 -35.040894 -70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 26390 KachelY + 1 51048 -0.61148309 -1.22755173 -35.035400 -70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22751946--1.22755173) × R
    3.22700000001674e-05 × 6371000     		dl = 205.592170001067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22751946--1.22755173) × R
    3.22700000001674e-05 × 6371000     		dr = 205.592170001067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(-1.22751946) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336574577604728 × 6371000     		do = 205.597078860326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(-1.22755173) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 205.578516647262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22751946)-sin(-1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336574577604728-0.336544190164127)×R²
    abs(-0.61148309--0.61157897)×3.03874406009652e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03874406009652e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03874406009652e-05×40589641000000     		ar = 42267.2414696313m²