Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26389 / 51045
↖ ↑ ↗
← S 70.327986°
W 35.040894°		 ← 205.63 m → S 70.327986°
W 35.035400°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 70.329835°
W 35.040894°		 ← 205.62 m →
42 275 m²		 S 70.329835°
W 35.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402671813964844 y=0.778892517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402671813964844 × 216)
    floor (0.402671813964844 × 65536)
    floor (26389.5)     		tx = 26389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778892517089844 × 216)
    floor (0.778892517089844 × 65536)
    floor (51045.5)     		ty = 51045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26389 / 51045 ti = "16/26389/51045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26389/51045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26389 ÷ 216
    26389 ÷ 65536     		x = 0.402664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51045 ÷ 216
    51045 ÷ 65536     		y = 0.778884887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.194671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61157897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.557769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75228542871153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61157897} λ = -0.61157897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75228542871153))-π/2
    2×atan(0.17337724897191)-π/2
    2×0.171670702768408-π/2
    0.343341405536816-1.57079632675     		φ = -1.22745492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61157897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.040894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22745492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.327986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26389 KachelY 51045 -0.61157897 -1.22745492 -35.040894 -70.327986
    Oben rechts KachelX + 1 26390 KachelY 51045 -0.61148309 -1.22745492 -35.035400 -70.327986
    Unten links KachelX 26389 KachelY + 1 51046 -0.61157897 -1.22748719 -35.040894 -70.329835
    Unten rechts KachelX + 1 26390 KachelY + 1 51046 -0.61148309 -1.22748719 -35.035400 -70.329835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22745492--1.22748719) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22745492--1.22748719) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(-1.22745492) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336635351434419 × 6371000     		do = 205.634202644138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61157897--0.61148309) × cos(-1.22748719) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336604964694836 × 6371000     		du = 205.615640859292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22745492)-sin(-1.22748719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336635351434419-0.336604964694836)×R²
    abs(-0.61148309--0.61157897)×3.03867395833324e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03867395833324e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03867395833324e-05×40589641000000     		ar = 42274.8738728322m²