Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26386 / 51044
↖ ↑ ↗
← S 70.326138°
W 35.057373°		 ← 205.65 m → S 70.326138°
W 35.051880°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 70.327986°
W 35.057373°		 ← 205.63 m →
42 279 m²		 S 70.327986°
W 35.051880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402626037597656 y=0.778877258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402626037597656 × 216)
    floor (0.402626037597656 × 65536)
    floor (26386.5)     		tx = 26386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778877258300781 × 216)
    floor (0.778877258300781 × 65536)
    floor (51044.5)     		ty = 51044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26386 / 51044 ti = "16/26386/51044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26386/51044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26386 ÷ 216
    26386 ÷ 65536     		x = 0.402618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51044 ÷ 216
    51044 ÷ 65536     		y = 0.77886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.19476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61186659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61186659} λ = -0.61186659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75218955491229))-π/2
    2×atan(0.173393872104319)-π/2
    2×0.171686840751841-π/2
    0.343373681503682-1.57079632675     		φ = -1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61186659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.057373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26386 KachelY 51044 -0.61186659 -1.22742265 -35.057373 -70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 26387 KachelY 51044 -0.61177071 -1.22742265 -35.051880 -70.326138
    Unten links KachelX 26386 KachelY + 1 51045 -0.61186659 -1.22745492 -35.057373 -70.327986
    Unten rechts KachelX + 1 26387 KachelY + 1 51045 -0.61177071 -1.22745492 -35.051880 -70.327986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22742265--1.22745492) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22742265--1.22745492) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61186659--0.61177071) × cos(-1.22742265) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 205.652764214609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61186659--0.61177071) × cos(-1.22745492) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336635351434419 × 6371000     		du = 205.6342026439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22742265)-sin(-1.22745492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336635351434419)×R²
    abs(-0.61177071--0.61186659)×3.03863890270817e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03863890270817e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03863890270817e-05×40589641000000     		ar = 42278.690007845m²