Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 26385 / 28369
↖ ↑ ↗
← N 70.886986°
W107.531433°		 ← 100.01 m → N 70.886986°
W107.528687°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.886086°
W107.531433°		 ← 100.01 m →
10 003 m²		 N 70.886086°
W107.528687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.201305389404297 y=0.216442108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.201305389404297 × 217)
    floor (0.201305389404297 × 131072)
    floor (26385.5)     		tx = 26385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216442108154297 × 217)
    floor (0.216442108154297 × 131072)
    floor (28369.5)     		ty = 28369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 26385 / 28369 ti = "17/26385/28369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/26385/28369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26385 ÷ 217
    26385 ÷ 131072     		x = 0.201301574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28369 ÷ 217
    28369 ÷ 131072     		y = 0.216438293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.201301574707031 × 2 - 1) × π
    -0.597396850585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.87677756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216438293457031 × 2 - 1) × π
    0.567123413085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.78167074817863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.87677756} λ = -1.87677756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78167074817863))-π/2
    2×atan(5.93977199631221)-π/2
    2×1.40400381209195-π/2
    2.80800762418389-1.57079632675     		φ = 1.23721130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.87677756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -107.531433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23721130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.886986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26385 KachelY 28369 -1.87677756 1.23721130 -107.531433 70.886986
    Oben rechts KachelX + 1 26386 KachelY 28369 -1.87672962 1.23721130 -107.528687 70.886986
    Unten links KachelX 26385 KachelY + 1 28370 -1.87677756 1.23719560 -107.531433 70.886086
    Unten rechts KachelX + 1 26386 KachelY + 1 28370 -1.87672962 1.23719560 -107.528687 70.886086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23721130-1.23719560) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23721130-1.23719560) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.87677756--1.87672962) × cos(1.23721130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327432525914661 × 6371000     		do = 100.006321527489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.87677756--1.87672962) × cos(1.23719560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327447360404955 × 6371000     		du = 100.010852362664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23721130)-sin(1.23719560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327432525914661-0.327447360404955)×R²
    abs(-1.87672962--1.87677756)×1.48344902938247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48344902938247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48344902938247e-05×40589641000000     		ar = 10003.3289067299m²