Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26384 / 5840
↖ ↑ ↗
← N 81.348076°
W 35.068359°		 ← 91.88 m → N 81.348076°
W 35.062866°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
N 81.347249°
W 35.068359°		 ← 91.89 m →
8 442 m²		 N 81.347249°
W 35.062866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402595520019531 y=0.0891189575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402595520019531 × 216)
    floor (0.402595520019531 × 65536)
    floor (26384.5)     		tx = 26384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891189575195312 × 216)
    floor (0.0891189575195312 × 65536)
    floor (5840.5)     		ty = 5840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26384 / 5840 ti = "16/26384/5840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26384/5840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26384 ÷ 216
    26384 ÷ 65536     		x = 0.402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5840 ÷ 216
    5840 ÷ 65536     		y = 0.089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61205833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089111328125 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58168966593774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61205833} λ = -0.61205833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58168966593774))-π/2
    2×atan(13.2194557638205)-π/2
    2×1.49529404462196-π/2
    2.99058808924392-1.57079632675     		φ = 1.41979176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61205833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.068359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41979176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.348076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26384 KachelY 5840 -0.61205833 1.41979176 -35.068359 81.348076
    Oben rechts KachelX + 1 26385 KachelY 5840 -0.61196246 1.41979176 -35.062866 81.348076
    Unten links KachelX 26384 KachelY + 1 5841 -0.61205833 1.41977734 -35.068359 81.347249
    Unten rechts KachelX + 1 26385 KachelY + 1 5841 -0.61196246 1.41977734 -35.062866 81.347249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41979176-1.41977734) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dl = 91.8698200004491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41979176-1.41977734) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dr = 91.8698200004491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61205833--0.61196246) × cos(1.41979176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150431343496113 × 6371000     		do = 91.8816248320929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61205833--0.61196246) × cos(1.41977734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150445599387484 × 6371000     		du = 91.8903321561925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41979176)-sin(1.41977734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150431343496113-0.150445599387484)×R²
    abs(-0.61196246--0.61205833)×1.42558913705793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42558913705793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42558913705793e-05×40589641000000     		ar = 8441.54830483768m²