Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26384 / 5648
↖ ↑ ↗
← N 81.505299°
W 35.068359°		 ← 90.22 m → N 81.505299°
W 35.062866°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
N 81.504487°
W 35.068359°		 ← 90.23 m →
8 140 m²		 N 81.504487°
W 35.062866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402595520019531 y=0.0861892700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402595520019531 × 216)
    floor (0.402595520019531 × 65536)
    floor (26384.5)     		tx = 26384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0861892700195312 × 216)
    floor (0.0861892700195312 × 65536)
    floor (5648.5)     		ty = 5648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26384 / 5648 ti = "16/26384/5648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26384/5648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26384 ÷ 216
    26384 ÷ 65536     		x = 0.402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5648 ÷ 216
    5648 ÷ 65536     		y = 0.086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61205833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086181640625 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61205833} λ = -0.61205833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60009743539185))-π/2
    2×atan(13.465049943505)-π/2
    2×1.49666607343949-π/2
    2.99333214687897-1.57079632675     		φ = 1.42253582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61205833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.068359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42253582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.505299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26384 KachelY 5648 -0.61205833 1.42253582 -35.068359 81.505299
    Oben rechts KachelX + 1 26385 KachelY 5648 -0.61196246 1.42253582 -35.062866 81.505299
    Unten links KachelX 26384 KachelY + 1 5649 -0.61205833 1.42252166 -35.068359 81.504487
    Unten rechts KachelX + 1 26385 KachelY + 1 5649 -0.61196246 1.42252166 -35.062866 81.504487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42253582-1.42252166) × R
    1.41600000000963e-05 × 6371000     		dl = 90.2133600006136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42253582-1.42252166) × R
    1.41600000000963e-05 × 6371000     		dr = 90.2133600006136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61205833--0.61196246) × cos(1.42253582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147717946681884 × 6371000     		do = 90.2243152428049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61205833--0.61196246) × cos(1.42252166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147731951325198 × 6371000     		du = 90.2328691076643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42253582)-sin(1.42252166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147717946681884-0.147731951325198)×R²
    abs(-0.61196246--0.61205833)×1.4004643313914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4004643313914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4004643313914e-05×40589641000000     		ar = 8139.82446815863m²