Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26384 / 24208
↖ ↑ ↗
← S 64.848937°
E109.863281°		 ← 519.20 m → S 64.848937°
E109.874267°		 →
↑
519.17 m
↓
↑
519.17 m
↓
S 64.853606°
E109.863281°		 ← 519.11 m →
269 533 m²		 S 64.853606°
E109.874267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805191040039062 y=0.738784790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805191040039062 × 215)
    floor (0.805191040039062 × 32768)
    floor (26384.5)     		tx = 26384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738784790039062 × 215)
    floor (0.738784790039062 × 32768)
    floor (24208.5)     		ty = 24208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26384 / 24208 ti = "15/26384/24208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26384/24208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26384 ÷ 215
    26384 ÷ 32768     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24208 ÷ 215
    24208 ÷ 32768     		y = 0.73876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50023321050928))-π/2
    2×atan(0.223078129917381)-π/2
    2×0.219484427572209-π/2
    0.438968855144417-1.57079632675     		φ = -1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26384 KachelY 24208 1.91747598 -1.13182747 109.863281 -64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 26385 KachelY 24208 1.91766773 -1.13182747 109.874267 -64.848937
    Unten links KachelX 26384 KachelY + 1 24209 1.91747598 -1.13190896 109.863281 -64.853606
    Unten rechts KachelX + 1 26385 KachelY + 1 24209 1.91766773 -1.13190896 109.874267 -64.853606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13182747--1.13190896) × R
    8.14900000001284e-05 × 6371000     		dl = 519.172790000818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13182747--1.13190896) × R
    8.14900000001284e-05 × 6371000     		dr = 519.172790000818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.91766773) × cos(-1.13182747) × R
    0.000191749999999935 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 519.204390111236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.91766773) × cos(-1.13190896) × R
    0.000191749999999935 × 0.42493254488441 × 6371000     		du = 519.114275433006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13182747)-sin(-1.13190896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.42493254488441)×R²
    abs(1.91766773-1.91747598)×7.37653756863188e-05×R²
    0.000191749999999935×7.37653756863188e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.37653756863188e-05×40589641000000     		ar = 269533.399400035m²