Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2638 / 635
↖ ↑ ↗
← N 76.940488°
E 51.855468°		 ← 2 208.35 m → N 76.940488°
E 51.943360°		 →
↑
2 209.97 m
↓
↑
2 209.97 m
↓
N 76.920614°
E 51.855468°		 ← 2 211.65 m →
4 884 036 m²		 N 76.920614°
E 51.943360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6441650390625 y=0.1551513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6441650390625 × 212)
    floor (0.6441650390625 × 4096)
    floor (2638.5)     		tx = 2638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1551513671875 × 212)
    floor (0.1551513671875 × 4096)
    floor (635.5)     		ty = 635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2638 / 635 ti = "12/2638/635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2638/635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2638 ÷ 212
    2638 ÷ 4096     		x = 0.64404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 635 ÷ 212
    635 ÷ 4096     		y = 0.155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    0.2880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90504866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155029296875 × 2 - 1) × π
    0.68994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16751485322046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90504866} λ = 0.90504866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16751485322046))-π/2
    2×atan(8.73654544235461)-π/2
    2×1.45683058865483-π/2
    2.91366117730966-1.57079632675     		φ = 1.34286485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90504866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.855468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34286485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.940488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2638 KachelY 635 0.90504866 1.34286485 51.855468 76.940488
    Oben rechts KachelX + 1 2639 KachelY 635 0.90658265 1.34286485 51.943360 76.940488
    Unten links KachelX 2638 KachelY + 1 636 0.90504866 1.34251797 51.855468 76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 2639 KachelY + 1 636 0.90658265 1.34251797 51.943360 76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34286485-1.34251797) × R
    0.000346879999999938 × 6371000     		dl = 2209.97247999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34286485-1.34251797) × R
    0.000346879999999938 × 6371000     		dr = 2209.97247999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90504866-0.90658265) × cos(1.34286485) × R
    0.0015339900000001 × 0.225962985705773 × 6371000     		do = 2208.34762298121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90504866-0.90658265) × cos(1.34251797) × R
    0.0015339900000001 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 2211.64988444325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34286485)-sin(1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225962985705773-0.226300880361387)×R²
    abs(0.90658265-0.90504866)×0.000337894655614596×R²
    0.0015339900000001×0.000337894655614596×6371000²
    0.0015339900000001×0.000337894655614596×40589641000000     		ar = 4884036.47551415m²