Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26377 / 13049
↖ ↑ ↗
← N 34.370645°
E109.786377°		 ← 1 008.34 m → N 34.370645°
E109.797363°		 →
↑
1 008.40 m
↓
↑
1 008.40 m
↓
N 34.361576°
E109.786377°		 ← 1 008.45 m →
1 016 872 m²		 N 34.361576°
E109.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804977416992188 y=0.398239135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804977416992188 × 215)
    floor (0.804977416992188 × 32768)
    floor (26377.5)     		tx = 26377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398239135742188 × 215)
    floor (0.398239135742188 × 32768)
    floor (13049.5)     		ty = 13049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26377 / 13049 ti = "15/26377/13049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26377/13049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26377 ÷ 215
    26377 ÷ 32768     		x = 0.804962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13049 ÷ 215
    13049 ÷ 32768     		y = 0.398223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804962158203125 × 2 - 1) × π
    0.60992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91613375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398223876953125 × 2 - 1) × π
    0.20355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639478240931549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91613375} λ = 1.91613375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639478240931549))-π/2
    2×atan(1.89549163130503)-π/2
    2×1.08533862337561-π/2
    2.17067724675121-1.57079632675     		φ = 0.59988092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91613375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.786377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59988092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.370645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26377 KachelY 13049 1.91613375 0.59988092 109.786377 34.370645
    Oben rechts KachelX + 1 26378 KachelY 13049 1.91632550 0.59988092 109.797363 34.370645
    Unten links KachelX 26377 KachelY + 1 13050 1.91613375 0.59972264 109.786377 34.361576
    Unten rechts KachelX + 1 26378 KachelY + 1 13050 1.91632550 0.59972264 109.797363 34.361576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59988092-0.59972264) × R
    0.000158280000000066 × 6371000     		dl = 1008.40188000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59988092-0.59972264) × R
    0.000158280000000066 × 6371000     		dr = 1008.40188000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91613375-1.91632550) × cos(0.59988092) × R
    0.000191749999999935 × 0.825402846683603 × 6371000     		do = 1008.34451457008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91613375-1.91632550) × cos(0.59972264) × R
    0.000191749999999935 × 0.825492192398147 × 6371000     		du = 1008.45366280179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59988092)-sin(0.59972264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825402846683603-0.825492192398147)×R²
    abs(1.91632550-1.91613375)×8.93457145446641e-05×R²
    0.000191749999999935×8.93457145446641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.93457145446641e-05×40589641000000     		ar = 1016871.53894483m²