Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26376 / 13048
↖ ↑ ↗
← N 34.379713°
E109.775390°		 ← 1 008.24 m → N 34.379713°
E109.786377°		 →
↑
1 008.27 m
↓
↑
1 008.27 m
↓
N 34.370645°
E109.775390°		 ← 1 008.34 m →
1 016 633 m²		 N 34.370645°
E109.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804946899414062 y=0.398208618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804946899414062 × 215)
    floor (0.804946899414062 × 32768)
    floor (26376.5)     		tx = 26376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398208618164062 × 215)
    floor (0.398208618164062 × 32768)
    floor (13048.5)     		ty = 13048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26376 / 13048 ti = "15/26376/13048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26376/13048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26376 ÷ 215
    26376 ÷ 32768     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13048 ÷ 215
    13048 ÷ 32768     		y = 0.398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639669988530029))-π/2
    2×atan(1.8958551221214)-π/2
    2×1.08541775359909-π/2
    2.17083550719819-1.57079632675     		φ = 0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26376 KachelY 13048 1.91594200 0.60003918 109.775390 34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 26377 KachelY 13048 1.91613375 0.60003918 109.786377 34.379713
    Unten links KachelX 26376 KachelY + 1 13049 1.91594200 0.59988092 109.775390 34.370645
    Unten rechts KachelX + 1 26377 KachelY + 1 13049 1.91613375 0.59988092 109.786377 34.370645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60003918-0.59988092) × R
    0.000158259999999966 × 6371000     		dl = 1008.27445999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60003918-0.59988092) × R
    0.000158259999999966 × 6371000     		dr = 1008.27445999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91613375) × cos(0.60003918) × R
    0.000191749999999935 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 1008.23535487334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91613375) × cos(0.59988092) × R
    0.000191749999999935 × 0.825402846683603 × 6371000     		du = 1008.34451457008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60003918)-sin(0.59988092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825402846683603)×R²
    abs(1.91613375-1.91594200)×8.93550995012538e-05×R²
    0.000191749999999935×8.93550995012538e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.93550995012538e-05×40589641000000     		ar = 1016632.99157615m²