Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26375 / 13050
↖ ↑ ↗
← N 34.361576°
E109.764405°		 ← 1 008.40 m → N 34.361576°
E109.775390°		 →
↑
1 008.47 m
↓
↑
1 008.47 m
↓
N 34.352507°
E109.764405°		 ← 1 008.51 m →
1 016 993 m²		 N 34.352507°
E109.775390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804916381835938 y=0.398269653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804916381835938 × 215)
    floor (0.804916381835938 × 32768)
    floor (26375.5)     		tx = 26375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398269653320312 × 215)
    floor (0.398269653320312 × 32768)
    floor (13050.5)     		ty = 13050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26375 / 13050 ti = "15/26375/13050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26375/13050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26375 ÷ 215
    26375 ÷ 32768     		x = 0.804901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13050 ÷ 215
    13050 ÷ 32768     		y = 0.39825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804901123046875 × 2 - 1) × π
    0.60980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91575026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39825439453125 × 2 - 1) × π
    0.2034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639286493333069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91575026} λ = 1.91575026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639286493333069))-π/2
    2×atan(1.89512821018047)-π/2
    2×1.08525948458581-π/2
    2.17051896917162-1.57079632675     		φ = 0.59972264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91575026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.764405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59972264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.361576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26375 KachelY 13050 1.91575026 0.59972264 109.764405 34.361576
    Oben rechts KachelX + 1 26376 KachelY 13050 1.91594200 0.59972264 109.775390 34.361576
    Unten links KachelX 26375 KachelY + 1 13051 1.91575026 0.59956435 109.764405 34.352507
    Unten rechts KachelX + 1 26376 KachelY + 1 13051 1.91594200 0.59956435 109.775390 34.352507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59972264-0.59956435) × R
    0.000158290000000005 × 6371000     		dl = 1008.46559000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59972264-0.59956435) × R
    0.000158290000000005 × 6371000     		dr = 1008.46559000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(0.59972264) × R
    0.000191739999999996 × 0.825492192398147 × 6371000     		do = 1008.40107069453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(0.59956435) × R
    0.000191739999999996 × 0.825581523074829 × 6371000     		du = 1008.51019486413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59972264)-sin(0.59956435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825492192398147-0.825581523074829)×R²
    abs(1.91594200-1.91575026)×8.93306766819313e-05×R²
    0.000191739999999996×8.93306766819313e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.93306766819313e-05×40589641000000     		ar = 1016992.80682333m²