Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26375 / 10872
↖ ↑ ↗
← N 51.672555°
E109.764405°		 ← 757.57 m → N 51.672555°
E109.775390°		 →
↑
757.64 m
↓
↑
757.64 m
↓
N 51.665742°
E109.764405°		 ← 757.68 m →
574 005 m²		 N 51.665742°
E109.775390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804916381835938 y=0.331802368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804916381835938 × 215)
    floor (0.804916381835938 × 32768)
    floor (26375.5)     		tx = 26375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331802368164062 × 215)
    floor (0.331802368164062 × 32768)
    floor (10872.5)     		ty = 10872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26375 / 10872 ti = "15/26375/10872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26375/10872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26375 ÷ 215
    26375 ÷ 32768     		x = 0.804901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10872 ÷ 215
    10872 ÷ 32768     		y = 0.331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804901123046875 × 2 - 1) × π
    0.60980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91575026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91575026} λ = 1.91575026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.056912762823))-π/2
    2×atan(2.87747381834829)-π/2
    2×1.23632627351702-π/2
    2.47265254703403-1.57079632675     		φ = 0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91575026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.764405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26375 KachelY 10872 1.91575026 0.90185622 109.764405 51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 26376 KachelY 10872 1.91594200 0.90185622 109.775390 51.672555
    Unten links KachelX 26375 KachelY + 1 10873 1.91575026 0.90173730 109.764405 51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 26376 KachelY + 1 10873 1.91594200 0.90173730 109.775390 51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90185622-0.90173730) × R
    0.000118920000000022 × 6371000     		dl = 757.639320000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90185622-0.90173730) × R
    0.000118920000000022 × 6371000     		dr = 757.639320000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(0.90185622) × R
    0.000191739999999996 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 757.566021590134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(0.90173730) × R
    0.000191739999999996 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 757.679977370444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90185622)-sin(0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.62024815704026)×R²
    abs(1.91594200-1.91575026)×9.32859054375568e-05×R²
    0.000191739999999996×9.32859054375568e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.32859054375568e-05×40589641000000     		ar = 574004.974819409m²