Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26372 / 5851
↖ ↑ ↗
← N 81.338981°
W 35.134277°		 ← 91.98 m → N 81.338981°
W 35.128784°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
N 81.338154°
W 35.134277°		 ← 91.99 m →
8 462 m²		 N 81.338154°
W 35.128784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402412414550781 y=0.0892868041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402412414550781 × 216)
    floor (0.402412414550781 × 65536)
    floor (26372.5)     		tx = 26372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0892868041992188 × 216)
    floor (0.0892868041992188 × 65536)
    floor (5851.5)     		ty = 5851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26372 / 5851 ti = "16/26372/5851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26372/5851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26372 ÷ 216
    26372 ÷ 65536     		x = 0.40240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5851 ÷ 216
    5851 ÷ 65536     		y = 0.0892791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61320882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0892791748046875 × 2 - 1) × π
    0.821441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5806350541461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61320882} λ = -0.61320882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5806350541461))-π/2
    2×atan(13.2055217186886)-π/2
    2×1.49521467992317-π/2
    2.99042935984634-1.57079632675     		φ = 1.41963303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61320882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41963303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.338981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26372 KachelY 5851 -0.61320882 1.41963303 -35.134277 81.338981
    Oben rechts KachelX + 1 26373 KachelY 5851 -0.61311295 1.41963303 -35.128784 81.338981
    Unten links KachelX 26372 KachelY + 1 5852 -0.61320882 1.41961859 -35.134277 81.338154
    Unten rechts KachelX + 1 26373 KachelY + 1 5852 -0.61311295 1.41961859 -35.128784 81.338154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41963303-1.41961859) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41963303-1.41961859) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61320882--0.61311295) × cos(1.41963303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150588265325751 × 6371000     		do = 91.977470766482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61320882--0.61311295) × cos(1.41961859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150602540644494 × 6371000     		du = 91.9861899565825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41963303)-sin(1.41961859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150588265325751-0.150602540644494)×R²
    abs(-0.61311295--0.61320882)×1.42753187421241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42753187421241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42753187421241e-05×40589641000000     		ar = 8462.07452333763m²