Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26367 / 13058
↖ ↑ ↗
← N 34.288992°
E109.676514°		 ← 1 009.27 m → N 34.288992°
E109.687500°		 →
↑
1 009.42 m
↓
↑
1 009.42 m
↓
N 34.279914°
E109.676514°		 ← 1 009.38 m →
1 018 837 m²		 N 34.279914°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804672241210938 y=0.398513793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804672241210938 × 215)
    floor (0.804672241210938 × 32768)
    floor (26367.5)     		tx = 26367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398513793945312 × 215)
    floor (0.398513793945312 × 32768)
    floor (13058.5)     		ty = 13058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26367 / 13058 ti = "15/26367/13058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26367/13058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26367 ÷ 215
    26367 ÷ 32768     		x = 0.804656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13058 ÷ 215
    13058 ÷ 32768     		y = 0.39849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804656982421875 × 2 - 1) × π
    0.60931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91421628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    0.2030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.637752512545227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91421628} λ = 1.91421628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637752512545227))-π/2
    2×atan(1.89222334848618)-π/2
    2×1.08462606600715-π/2
    2.16925213201429-1.57079632675     		φ = 0.59845581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91421628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.676514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59845581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.288992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26367 KachelY 13058 1.91421628 0.59845581 109.676514 34.288992
    Oben rechts KachelX + 1 26368 KachelY 13058 1.91440802 0.59845581 109.687500 34.288992
    Unten links KachelX 26367 KachelY + 1 13059 1.91421628 0.59829737 109.676514 34.279914
    Unten rechts KachelX + 1 26368 KachelY + 1 13059 1.91440802 0.59829737 109.687500 34.279914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59845581-0.59829737) × R
    0.000158439999999982 × 6371000     		dl = 1009.42123999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59845581-0.59829737) × R
    0.000158439999999982 × 6371000     		dr = 1009.42123999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91421628-1.91440802) × cos(0.59845581) × R
    0.000191739999999996 × 0.826206545808571 × 6371000     		do = 1009.27370734762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91421628-1.91440802) × cos(0.59829737) × R
    0.000191739999999996 × 0.826295795357053 × 6371000     		du = 1009.382732413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59845581)-sin(0.59829737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826206545808571-0.826295795357053)×R²
    abs(1.91440802-1.91421628)×8.92495484819955e-05×R²
    0.000191739999999996×8.92495484819955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.92495484819955e-05×40589641000000     		ar = 1018837.34540944m²